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Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 181
la forma desarrollada de C(s). Si hay un cero en lazo cerrado cerca de un polo en lazo cerrado,
el residuo en este polo es pequeño y el coeficiente del término de respuesta transitoria que
corresponde a este polo se vuelve pequeño. Un par polo-cero cercanos entre sí se cancelarán
efectivamente uno al otro. Si un polo se localiza muy lejos del origen, su residuo puede ser pequeño.
Los valores transitorios que corresponden a tal polo remoto son pequeños y duran un
tiempo corto. Los términos en la forma desarrollada de C(s) que tienen residuos muy pequeños
contribuyen poco a la respuesta transitoria, por lo que pueden pasarse por alto. Si se hace esto, el
sistema de orden superior se aproxima mediante uno de orden inferior. (Tal aproximación nos
permite con frecuencia estimar las características de respuesta de un sistema de orden superior a
partir de las de uno simplificado.)
A continuación, considérese el caso en el que los polos de C(s) están formados por polos
reales y pares de polos complejos conjugados. Un par de polos complejos conjugados produce un
término de segundo orden en s. Como la forma factorizada de la ecuación característica de orden
superior está formada por términos de primer y segundo orden, la Ecuación (5-3) se vuelve a
escribir como
C(s) % a s ! q
;
j%1
a j
s ! p j
!
r
;
k%1
b k (s ! f k u k ) ! c k u k ∂1 . f 2 k
s 2 ! 2f k u k s ! u 2 k
(q ! 2r % n)
donde se supone que los polos en lazo cerrado son distintos. [Si los polos en lazo cerrado contienen
polos múltiples, C(s) debe contener términos de polos múltiples]. A partir de esta última
ecuación, se observa que la respuesta de un sistema de orden superior está compuesta de varios
términos que contienen las funciones simples encontradas en las respuestas de los sistemas de
primer y segundo orden. Por tanto, la respuesta escalón unitario c(t), la transformada inversa de
Laplace de C(s), es
c(t) % a !
!
q
;
j%1
r
;
k%1
a j e .p j t !
r
;
k%1
b k e .f k u k t cos u k ∂1 . f 2 kt
c k e .f k u k t sen u k ∂1 . f 2 kt, para t n 0 (5-34)
En este caso, la curva de respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma de un
número de curvas exponenciales y curvas sinusoidales amortiguadas.
Si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, los
términos exponenciales y los términos sinusoidales amortiguados de la Ecuación (5-34) se aproximarán
a cero, conforme el tiempo t aumente. Por tanto, la salida en estado estacionario es
c(ä) % a.
Supóngase que el sistema que se considera es estable. Por tanto, los polos en lazo cerrado que
se localizan lejos del eje ju tienen partes reales grandes y negativas. Los términos exponenciales
que corresponden a estos polos llegan a cero con mucha rapidez. (Obsérvese que la distancia
horizontal del polo en lazo cerrado al eje ju determina el tiempo de asentamiento de los transitorios
producidos por tal polo. Cuanto más pequeña es la distancia, más prolongado es el tiempo de
asentamiento.)
Recuérdese que los polos en lazo cerrado determinan el tipo de respuesta transitoria, mientras
que los ceros en lazo cerrado determinan principalmente la forma de la respuesta transitoria. Como
se vio antes, los polos de la entrada R(s) producen los términos de la respuesta en estado
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estacionario en la solución, mientras que los polos de C(s)/R(s) se introducen en los términos
exponenciales de la respuesta transitoria y/o en los términos sinusoidales amortiguados de la res-