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Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 205
Figura 5-31. Respuesta del sistema mecánico considerado en el Ejemplo 5-8.
Respuesta a condiciones iniciales (enfoque en el espacio de estados, caso
1). Considérese el sistema definido mediante
x5 % Ax, x(0) % x 0 (5-49)
Se va a obtener la respuesta x(t) cuando se especifica la condición inicial x(0). (Ninguna función
de entrada externa actúa sobre este sistema.) Supóngase que x es un vector de dimensión n.
Primero, tome las transformadas de Laplace de ambos miembros de la Ecuación (5-49).
Esta ecuación puede reescribirse como
sX(s) . x(0) % AX(s)
sX(s) % AX(s) ! x(0) (5-50)
Tomando la transformada inversa de Laplace de la Ecuación (5-50), se obtiene
x5 % Ax ! x(0) d(t) (5-51)
(Obsérvese que, tomando la transformada de Laplace de una ecuación diferencial y después la
transformada inversa de Laplace de la ecuación transformada mediante el sistema de Laplace, se
genera una ecuación diferencial que contiene las condiciones iniciales.)
Ahora se define
z5 % x (5-52)
A continuación, la Ecuación (5-51) se escribe como
z¨ % Az5 ! x(0) d(t) (5-53)
Integrando la Ecuación (5-53) con respecto a t, se obtiene
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z5 % Az ! x(0)1(t) % Az ! Bu (5-54)
donde
B % x(0), u % 1(t)