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Capítulo 9. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 661
b 1 ! 2b 2 t ! 3b 3 t 2 ! ñ ! kb k t k.1 ! ñ
% A(b 0 ! b 1 t ! b 2 t 2 ! ñ ! b k t k ! ñ) (9-30)
Si la solución supuesta se quiere que sea la solución verdadera, la Ecuación (9-30) debe ser válida
para todo t. Por tanto, igualando los coeficientes de las potencias iguales de t en ambos miembros
de la Ecuación (9-30), se obtiene
b 1 % Ab 0
b 2 % 1 2 Ab 1 % 1 2 A2 b 0
b 3 % 1 3 Ab 2 % 1
3 # 2 A3 b 0
ó
b k % 1 k! Ak b 0
Al sustituir t % 0 en la Ecuación (9-29), se obtiene
Así, la solución x(t) se escribe como
x(0) % b 0
x(t) % AI ! At ! 1 2! A2 t 2 ! ñ ! 1 k! Ak t k ! ñ B x(0)
La expresión entre paréntesis en el segundo miembro de esta última ecuación es una matriz de
n # n. Debido a su similitud con la serie infinita de potencias para una exponencial escalar, se la
denomina matriz exponencial y se escribe
I ! At ! 1 2! A2 t 2 ! ñ ! 1 k! Ak t k ! ñ % e At
En términos de la matriz exponencial, la solución de la Ecuación (9-28) se puede escribir como
x(t) % e At x(0) (9-31)
Como la matriz exponencial es muy importante en el análisis en el espacio de estados de los
sistemas lineales, a continuación se examinarán sus propiedades.
Matriz exponencial.
n # n,
Se puede demostrar que la matriz exponencial de una matriz A de
e At %
ä
;
k%0
A k t k
k!
converge absolutamente para todo t finito. (Por tanto, es fácil realizar los cálculos en un computador
para evaluar los elementos de e At utilizando el desarrollo en serie.)
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ä
Debido a la convergencia de la serie infinita ; A k t k /k!, la serie puede diferenciarse término
k%0