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526 Ingeniería de control moderna
La función de transferencia sinusoidal determinada G(ju) se escribe del modo si-
Solución.
guiente:
donde
Por tanto,
G( ju) % X ! jY
X % u2 T 2
1 ! u 2 T 2 , Y % uT
1 ! u 2 T 2
AX . 1 2B 2 ! Y 2 % (u2 T 2 . 1) 2
4(1 ! u 2 T 2 ) 2 ! u2 T 2
(1 ! u 2 T 2 ) 2 % 1 4
Así, se observa que la gráfica de G(ju) es un círculo centrado en (0.5, 0), con radio igual a 0.5. El
semicírculo superior corresponde a 0 m u mä, y el semicírculo inferior corresponde a
.ä m u m 0.
A-7-6.
Demuestre el siguiente teorema de transformación. Suponga que F(s) es un cociente de polinomios
en s. Suponga que P es el número de polos y que Z es el número de ceros de F(s) que se
encuentran dentro de un contorno cerrado en el plano s, considerada la multiplicidad. Suponga
que el contorno cerrado no pasa por polos ni ceros de F(s). A continuación, el contorno cerrado en
el plano s se transforma dentro del plano F(s) como una curva cerrada. El número N de rodeos el
origen del plano F(s) en el sentido de las agujas del reloj, cuando un punto representativo s traza el
contorno completo en el plano s en el sentido de las agujas del reloj, es igual a Z-P.
Solución. Para comprobar este teorema, se utiliza el teorema de Cauchy y el teorema del residuo.
El teorema de Cauchy plantea que la integral de F(s) alrededor de un contorno cerrado en el
plano s es cero si F(s) es analítica 2 dentro del contorno cerrado y sobre él, o
I
F(s) ds % 0
Suponga que F(s) se obtiene mediante
F(s) % (s ! z 1) k 1
(s ! z 2 ) k 2ñ
(s ! p 1 ) m 1
(s ! p 2 ) m 2ñ X(x)
donde X(s) es analítica en el contorno cerrado en el plano s y todos los polos y ceros se localizan
en el contorno. Así, el cociente Fñ(s)/F(s) se escribe
Fñ(s)
F(s) % A k 1
! k 2
! ñ B s ! z 1 s ! z . 2 A m 1
! m 2
! ñ B s ! p 1 s ! p ! Xñ(s)
2 X(s)
Esto se observa a partir de la consideración siguiente: Si F4(s) se obtiene mediante
F4(s) % (s ! z 1 ) k X(s)
(7-30)
entonces F4(s) tiene un cero de k-ésimo orden en s %.z 1 . Si se diferencia F(s) con respecto a s se
obtiene
F4ñ(s) % k(s ! z 1 ) k.1 X(s) ! (s ! z 1 ) k Xñ(s)
Por tanto,
F4ñ(s)
F4(s) % k ! Xñ(s)
(7-31)
s ! z 1 X(s)
Se observa que si se toma el cociente F4ñ(s)/F4(s), el cero de k-ésimo orden de F4(s) se vuelve un
polo sencillo de F4ñ(s)/F4(s).
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2 Para ver una definición de función analítica, véase la nota al pie de la página 447.