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Capítulo 9. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 663
Por tanto,
BA . AB
e (A!B)t . e At e Bt % t 2
2!
! BA2 ! ABA ! B 2 A ! BAB . 2A 2 B . 2AB 2
3!
La diferencia entre e (A!B)t y e At e Bt desaparece si A y B conmutan.
t 3 ! ñ
Método de la transformada de Laplace para la solución de las ecuaciones de
estado en el caso homogéneo. Primero se considera el caso escalar:
x5 % ax (9-32)
Tomando la transformada de Laplace de la Ecuación (9-32), se obtiene
sX(s) . x(0) % aX(s) (9-33)
donde X(s) % [x]. Al despejar X(s) en la Ecuación (9-33) se deduce
X(s) % x(0)
s . a % (s . a).1 x(0)
La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación da la solución
x(t) % e at x(0)
El método anterior para la solución de la ecuación diferencial escalar homogénea se extiende
a la ecuación de estado homogénea:
x0(t) % Ax(t) (9-34)
Tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de la Ecuación (9-34), se obtiene
donde X(s) % [x]. Por tanto,
sX(s) . x(0) % AX(s)
(sI . A)X(s) % x(0)
Premultiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (sI . A) .1 , se obtiene
X(s) % (sI . A) .1 x(0)
La transformada inversa de Laplace de X(s) produce la solución x(t). Así,
Obsérvese que
x(t) % .1 [(sI . A) .1 ]x(0) (9-35)
(sI . A) .1 % I s ! A s 2 ! A2
s 3 ! ñ
Por tanto, la transformada inversa de Laplace de (sI . A) .1 da
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.1 [(sI . A) .1 ] % I ! At ! A2 t 2
2! ! A3 t 3
3! ! ñ % eAt (9-36)