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Capítulo 2. Modelado matemático de sistemas de control 51
Figura 2-25.
(Continuación.)
A-2-6.
Demuestre que, para el sistema descrito por la ecuación diferencial
...
y ! a 1 ÿ ! a 2 y5! a 3 y % b 0
...
u ! b 1 ü ! b 2 u5! b 3 u (2-58)
las ecuaciones de estado y de salida se obtienen, respectivamente, mediante
y
Cx5 1
x5 2
3D%C
0
x5
1 0
0 0 1
.a 3 .a 2 .a 1DCx
1
x 2
1
b 2
(2-59)
x 3D!Cb b 3Du
donde las variables de estado se definen mediante
y % [1 0 0]Cx 1
x 2
x 3D!b 0 u (2-60)
y
x 1 % y . b 0 u
x 2 % y5. b 0 u5. b 1 u % x5 1 . b 1 u
x 3 % ÿ . b 0 ü . b 1 u5. b 2 u % x5 2 . b 2 u
b 0 % b 0
b 1 % b 1 . a 1 b 0
b 2 % b 2 . a 1 b 1 . a 2 b 0
b 3 % b 3 . a 1 b 2 . a 2 b 1 . a 3 b 0
Solución.
A partir de la definición de las variables de estado x 2 y x 3 , se tiene que
x5 1 % x 2 ! b 1 u (2-61)
x5 2 % x 3 ! b 2 u (2-62)
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A fin de obtener la ecuación para x5 3 , primero se considera, de la Ecuación (2-58), que
...
...
y % .a 1 ÿ . a 2 y5. a 3 y ! b 0 u ! b 1 ü ! b 2 u5! b 3 u