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848 Ingeniería de control moderna
Resolviendo para la matriz P, se obtiene
%C 5
11 p 12
P % Cp p 12 p 22 D
Por tanto, el índice de comportamiento es
2k 2
! k 2
8
1
8
1
8
2D
5
8k
J % x T (0)Px(0)
11 p 12
% [c 0] Cp p 12 p 22 DC0D c % p 11c 2
% A 5 ! k 2
2k 2 8B c2 (10-177)
Para minimizar J, se diferencia J con respecto a k 2 y se fija LJ/Lk 2 igual a cero del modo siguiente:
Por tanto,
LJ
%
Lk A.5
2 2k 2 2
! 1 8B c2 % 0
k 2 % ∂20
Con este valor de k 2 , se tiene que L 2 J/Lk 2 2 b 0. Así, el valor mínimo de J se obtiene sustituyendo
k 2 % ∂20 en la Ecuación (10-177), o bien
El sistema diseñado tiene la ley de control
J mín % ∂5
2 c2
u % .4x 1 . ∂20x 2
Además es óptimo porque da un valor mínimo para el índice de comportamiento J bajo la condición
inicial supuesta.
A-10-17.
Sea el mismo sistema del péndulo invertido analizado en el Ejemplo 10-5. El sistema se muestra
en la Figura 10-8, donde M % 2 kg, m % 0.1 kg y l % 0.5 m. En la Figura 10-9 se muestra el
diagrama de bloques. Las ecuaciones del sistema están dadas por
x5 % Ax ! Bu
y % Cx
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u % .Kx ! k I m
m0% r . y % r . Cx