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76 Ingeniería de control moderna
EJEMPLO 3-7 Considérese de nuevo el sistema que se muestra en la Figura 3-8. Obténgase la función de transferencia
E o (s)/E i (s) utilizando la aproximación de la impedancia compleja. (Los condensadores C 1 y
C 2 no están cargados inicialmente.)
El circuito que se muestra en la Figura 3-8 se puede transformar tal y como se aprecia en la
Figura 3-10(a), que a su vez se puede modificar como aparece en la Figura 3-10(b).
En el sistema que se muestra en la Figura 3-10(b) la corriente I se divide en dos corrientes, I 1 e
I 2 . Obsérvese que
Z 2 I 1 % (Z 3 ! Z 4 )I 2 , I 1 ! I 2 % I
se obtiene
Obsérvese que
se obtiene
I 1 % Z 3 ! Z 4
I, I 2 %
I
Z 2 ! Z 3 ! Z 4 Z 2 ! Z 3 ! Z 4
E i (s) % Z 1 I ! Z 2 I 1 % CZ 1 ! Z 2(Z 3 ! Z 4 )
Z 2 ! Z 3 ! Z 4 D I
E o (s) % Z 4 I 2 % Z 2Z 4
Z 2 ! Z 3 ! Z 4
I
Z 2
E o (s)
E i (s) % Z 2 Z 4
Z 1 (Z 2 ! Z 3 ! Z 4 ) ! Z 2 (Z 3 ! Z 4 )
Si se sustituye Z 1 % R 1 , Z 2 % 1/(C 1 s), Z 3 % R 2 y Z 4 % 1/(C 2 s) en esta última ecuación se obtiene
1 1
E o (s)
E i (s) % C 1 s C 2 s
R 1
A 1
C 1 s ! R 2 ! 1
C 2 sB ! 1
C 1 s A R 2 ! 1
C 2 sB
1
%
R 1 C 1 R 2 C 2 s 2 ! (R 1 C 1 ! R 2 C 2 ! R 1 C 2 )s ! 1
que es la misma que se mostró en la Ecuación (3-33).
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Figura 3-10. (a) El circuito de la Figura 3-8 en términos de impedancias;
(b) diagrama del circuito equivalente.