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400 Ingeniería de control moderna
donde a y los b i (donde i % 1, 2, ..., n) son constantes y a6 es el complejo conjugado de a. La
transformada inversa de Laplace de la Ecuación (7-2) da
y(t) % ae .jut ! a6e jut ! b 1 e .s 1 t ! b 2 e .s 2 t ! ñ ! b n e .s n t (t n 0) (7-3)
Para un sistema estable, .s 1 , .s 2 , ..., .s n , tienen parte real negativa. Por lo tanto, cuando t se
aproxima a infinito, los términos e .s 1 t , e .s 2 t , ..., y e .s n t se aproximan a cero. Así, todos los términos
del lado derecho de la Ecuación (7-3), excepto los dos primeros, se desprecian en estado
estacionario.
Si Y(s) contiene polos múltiples s j de multiplicidad m j , entonces, y(t) contendrá términos como
t h je .s j t (h j % 0, 1, 2, ..., m j . 1). Para un sistema estable, los términos t h je .s j t tienden a cero
cuando t se aproxima a infinito.
Por tanto, independientemente de si el sistema tiene polos distintos o no, la respuesta en estado
estacionario es
y ss (t) % ae .jut ! a6e jut (7-4)
donde la constante a se puede calcular con la Ecuación (7-2) de la siguiente forma:
Obsérvese que
a % G(s)
a6% G(s)
uX
s 2 ! u 2 (s ! ju) % .
G XG(.ju)
s%.ju 2j
uX
s 2 ! u 2 (s . ju) %
G XG(ju)
s%ju 2j
Como G(ju) es una cantidad compleja, se puede reescribir de la siguiente forma:
G(ju) % G(ju)e jh
donde G(ju) representa la magnitud y h el ángulo de G(ju), es decir,
parte imaginaria de G(ju)
h % G(ju) % tan
C .1 parte real de G( ju) D
El ángulo h puede ser negativo, positivo o cero. Análogamente, se obtiene la siguiente expresión
para G(.ju):
G(.ju) % G(.ju)e .jh % G(ju)e .jh
Por tanto, verificando que
la Ecuación (7-4) se puede reescribir como
a % XG(ju)e.jh
jh
XG(ju)e
, a6%
2j
2j
y ss (t) % XG(ju) ej(ut!h) . e .j(ut!h)
2j
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% XG(ju) sen (ut ! h)
% Y sen (ut ! h) (7-5)