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Capítulo 3. Modelado matemático de sistemas mecánicos y sistemas eléctricos 71
Figura 3-6.
Sistema de péndulo invertido.
La Ecuación (3-20) se obtuvo eliminando ẍ de las Ecuaciones (3-18) y (3-19). La Ecuación (3-21)
se obtuvo eliminando ḧ de las Ecuaciones (3-18) y (3-19). De la Ecuación (3-20) se obtiene que la
función de transferencia de la planta es
C(s)
.U(s) % 1
Mls 2 . (M ! m)g % 1
Ml As ! J M ! m
Ml
g BAs . J M ! m
Ml
La planta del péndulo invertido tiene un polo en el eje real negativo [s % .(∂M!m/∂Ml)∂g] y
otro en el eje real positivo [s%(∂M!m/∂Ml)∂g]. Por tanto, la planta es inestable en lazo abierto.
Sean las variables de estado x 1 , x 2 , x 3 y x 4 siguientes:
x 1 % h
x 2 % h0
x 3 % x
x 4 % x5
Observe que el ángulo h indica la rotación de la varilla del péndulo respecto al punto P, yx es la
posición del carro. Si se consideran h y x como las salidas del sistema, entonces
1
y % Cy y 2 D % C h xD % C x 1
x 3 D
(Observe que tanto h como x son cantidades fácilmente medibles.) Entonces, a partir de la definición
de variables de estado y de las Ecuaciones (3-20) y (3-21), se obtiene
x5 1 % x 2
x5 2 % M ! m
Ml
gx 1 . 1 Ml u
x5 3 % x
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4
x5 4 % . m M gx 1 ! 1 M u
g B