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Capítulo 9. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 687
Los sistemas siguientes no son completamente observables.
C 1
x52D % C .1 0
0 .2DC x 1
x 2 D , y % [0 1] C x 1
x 2 D
1 0 Cx51
x52 0 2 1
x53D%C2 x 3D, C y 1
y 2 D % C 0 1 3
0 2 4D
Cx 1
x 2
3D x
0 0 2DCx
1
x 2
Cx51 1 0 0
x52 0 2 1
x53 0 0 2
x54
.3 1
x55D%C2
0 0 .3DCx
1
x 2
x 3
x 4
1
x 2
x 3
0 1 1 0 0DCx
C y 1
y 2 D
x 5D, % C 1 1 1 0 0
Principio de dualidad. A continuación se analiza la relación entre controlabilidad y observabilidad.
Se introducirá el principio de dualidad, debido a Kalman, para aclarar las analogías
evidentes entre controlabilidad y observabilidad.
Sea el sistema S 1 descrito mediante
x5 % Ax ! Bu
y % Cx
donde x % vector de estado (vector de dimensión n)
u % vector de control (vector de dimensión r)
y % vector de salida (vector de dimensión m)
A% matriz n # n
B % matriz n # r
C% matriz m # n
y el sistema dual S 2 definido mediante
z5 % A*z ! C*v
n % B*z
donde z % vector de estado (vector de dimensión n)
v % vector de control (vector de dimensión m)
n % vector de salida (vector de dimensión r)
A*% transpuesta conjugada de A
B*% transpuesta conjugada de B
C*% transpuesta conjugada de C
El principio de dualidad plantea que el sistema S 1 es de estado completamente controlable (observable)
si y sólo si el sistema S 2 es de estado completamente observable (controlable).
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Para verificar este principio, se escriben las condiciones necesarias y suficientes para controlabilidad
completa del estado y observabilidad completa de los sistemas S 1 y S 2 .
5D
x 4
x