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Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 749
MATLAB Programa 10-6
A = [0 1 0 0; 20.601 0 0 0; 0 0 0 1; –0.4905 0 0 0];
B = [0;–1;0;0.5];
C = [0 0 1 0];
Ahat = [A zeros(4,1); –C 0];
Bhat = [B;0];
J = [–1!j*sqrt(3) –1–j*sqrt(3) –5 –5 –5];
Khat = acker(Ahat,Bhat,J)
Khat =
–157.6336 –35.3733 –56.0652 –36.7466 50.9684
Por lo tanto, se obtiene
K % [k 1 k 2 k 3 k 4 ] % [.157.6336 .35.3733 .56.0652 .36.7466]
y
k I % .50.9684
Características de la respuesta a un escalón unitario del sistema diseñado. Una
vez que se han determinado la matriz de ganancia de realimentación K y la constante de ganancia
integral k 1 , la respuesta a un escalón en la posición del carro se puede obtener resolviendo la
siguiente ecuación, que se deduce sustituyendo la Ecuación (10-49) en la Ecuación (10-35):
C x5
m0D % C A . BK Bk I
.C 0DC x mD ! C 0 1D r (10-53)
La salida del sistema es x 3 (t) o bien
y % [0 0 1 0 0]
mD Cx ! [0]r (10-54)
Se definen la matriz de estado, la matriz de control, la matriz de salida y la matriz de transmisión
directa del sistema obtenida mediante las Ecuaciones (10-53) y (10-54), como AA, BB, CC y
DD, respectivamente. Se puede utilizar el programa MATLAB 10-7 para obtener las curvas de
respuesta escalón del sistema diseñado. Observe que, para obtener la respuesta a un escalón unitario,
se introduce la orden
[y,x,t] % step(AA,BB,CC,DD, 1, t)
La Figura 10-10 muestra las curvas x 1 respecto de t, x 2 respecto t, x 3 (%salida y) respecto de t,
x 4 respecto t y x 5 (%m) respecto de t. Observe que y(t)[%x 3 (t)] tiene aproximadamente el 15% de
sobreelongación y el tiempo de asentamiento es aproximadamente de 4,5 seg. m(t) [%x 5 (t)] tiende
a 1,1. Este resultado se puede deducir como sigue. Como
x5 (ä) % 0 % Ax(ä) ! Bu(ä)
o bien
C0 0 1 0
0DC0 0
0
0D%C
0D!C
0 20.601 0 0 0 0 .1
0 0 0 0 1 r 0
.0.4905 0 0 0.5Du(ä)
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