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674 Ingeniería de control moderna
Al sustituir j 1 por 0 y j 2 por .2 en esta última ecuación, se obtiene
G1 0 1
1 .2 e .2t G%0
I A e At
Si se desarrolla el determinante, se deduce
o bien
.2e At ! A ! 2I . Ae .2t % 0
e At % 1 2 (A ! 2I . Ae.2t )
% 1 2EC 0 1
0 .2D ! C 2 0
0 2D . C 0 1
% C1 1 2 (1 . e–2t )
0 e .2t D
0 .2D e.2t F
Un enfoque alternativo es usar la Ecuación (9-48). En primer lugar se determinan a 0 (t) ya 1 (t) a
partir de
a 0 (t) ! a 1 (t)j 1 % e j 1 t
a 0 (t) ! a 1 (t)j 2 % e j 2 t
Como j 1 % 0yj 2 % .2, las dos últimas ecuaciones se convierten en
Al resolver para a 0 (t) ya 1 (t) se obtiene
Luego, e At se puede escribir como
a 0 (t) % 1
a 0 (t) . 2a 1 (t) % e .2t
a 0 (t) % 1, a 1 (t) % 1 2 (1 . e.2t )
e At % a 0 (t)I ! a 1 (t)A % I ! 1 2 (1 . e.2t )A % C1 1 2 (1 . e.2t )
0 e .2t D
Independencia lineal de vectores. Se dice que los vectores x 1 , x 2 , ..., x n son linealmente
independientes si
c 1 x 1 ! c 2 x 2 ! ñ ! c n x n % 0
donde c 1 , c 2 , ..., c n son constantes, implica que
c 1 % c 2 % ñ % c n % 0
O bien, se dice que los vectores x 1 , x 2 , ..., x n son linealmente dependientes si y sólo si x i se
expresa como una combinación lineal de x j (j % 1, 2, ..., n; j Ç i), o
n
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x i % ; c j x j
j%1
jÇi