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708 Ingeniería de control moderna
Análogamente, si
1 1 0 0
0 j 1 1
0 0 j 1
J %Cj j 4 1
0 j 4
j 6
0 j 7D
entonces
e %Ce j 1 t te j 1 t 1 2 t2 e j 1 t 0
0 e j 1 t te j 1 t
0 0 e j 1 t
Jt e j 4 t te j 4 t
0 e j 4 t e j 6 t 0
0 0 e j 7 tD
A-9-12.
Sea el polinomio siguiente en j de grado m . 1, donde se supone que j 1 , j 2 ,...,j m son distintos:
p k (j) % (j . j 1) ñ (j . j k.1 )(j . j k!1 ) ñ (j . j m )
(j k . j 1 ) ñ (j k . j k.1 )(j k . j k!1 ) ñ (j k . j m )
donde k % 1, 2, ..., m. Observe que
si i % k
p k (j i ) %
E1, 0, si i Ç k
Así, el polinomio f (j) de grado m . 1,
f (j) %
%
m
;
k%1
m
;
k%1
f (j k )p k (j)
(j . j 1 ) ñ (j . j k.1 )(j . j k!1 ) ñ (j . j m )
f (j k )
(j k . j 1 ) ñ (j k . j k.1 )(j k . j k!1 ) ñ (j k . j m )
toma los valores f (j k ) en los puntos j k . Esta última ecuación se conoce como fórmula de interpolación
de Lagrange. El polinomio f (j) de grado m . 1 se determina a partir de los m datos
independientes f (j 1 ), f (j 2 ), ..., f (j m ). Es decir, el polinomio f (j) pasa por m puntos f (j 1 ),
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f (j 2 ), ..., f (j m ). Como f (j) es un polinomio de grado m . 1, está determinado de forma única.
Cualquier otra representación del polinomio de grado m . 1 se reduce al polinomio de Lagrange
f (j).