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Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 747
Figura 10-9. Sistema de control del péndulo invertido (servosistema de tipo 1
cuando la planta no tiene un integrador).
no directo, tal como se muestra en la Figura 10-9. Se supone que el ángulo del péndulo h yla
velocidad angular h0son pequeños, por lo que sen h E h0, cos h E 1yhh0 2 E 0. También se supondrá
que los valores numéricos para M, m y l están dados por
M % 2 kg, m % 0.1 kg, l % 0.5 m
Anteriormente en el Ejemplo 3-6 se dedujeron las ecuaciones para el sistema del péndulo
invertido que se muestra en la Figura 3-6, que es el mismo que el de la Figura 10-8. A partir de la
Figura 3-6, se comenzó con las ecuaciones del balance de fuerza y del balance de pares y se
finalizó con las Ecuaciones (3-20) y (3-21) del modelo del sistema del péndulo invertido. Tomando
en cuenta las Ecuaciones (3-20) y (3-21) las ecuaciones para el sistema de control del péndulo
invertido son
Mlḧ % (M ! m)gh . u (10-43)
Mẍ % u . mgh (10-44)
Cuando se sustituyen los valores numéricos, las Ecuaciones (10-43) y (10-44) se convierten en
Se definen las variables de estado x 1 , x 2 , x 3 y x 4 como
ḧ % 20.601h . u (10-45)
ẍ % 0.5u . 0.4905h (10-46)
x 1 % h
x 2 % h0
x 3 % x
x 4 % x5
Teniendo en cuenta las Ecuaciones (10-45) y (10-46) y la Figura 10-9 y considerando la posición
del carro x como la salida del sistema, se obtienen las ecuaciones para el sistema del modo siguiente:
x5 % Ax ! Bu (10-47)
y % Cx (10-48)
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u % .Kx ! k I m (10-49)
m0% r . y % r . Cx (10-50)