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Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 821
Demuestre que
0 ñ 0 .a n
1 0 ñ 0 .a n.1
M .1 AM %C0 0 1 ñ 0 .a n.2
D
ó ó ó ó
0 0 ñ 1 .a 1
donde a 1 , a 2 , ..., a n son los coeficientes del polinomio característico
sI . A % s n ! a 1 s n.1 ! ñ ! a n.1 s ! a n
Solución.
Se considera el caso en el que n % 3. Se demostrará que
A-10-3.
0 .a 3
AM % MC0 1 0 .a 2
1D
(10-140)
0 1 .a
El miembro izquierdo de la Ecuación (10-140) es
AM % A[B AB A 2 B] % [AB A 2 B A 3 B]
El miembro derecho de la Ecuación (10-140) es
[B AB A 2 B]C0 0 .a 3
1 0 .a 2
0 1 .a 1D%[AB A 2 B .a 3 B . a 2 AB . a 1 A 2 B] (10-141)
El teorema de Cayley-Hamilton dice que la matriz A satisface su propia ecuación característica
o, en el caso de n % 3,
A 3 ! a 1 A 2 ! a 2 A ! a 3 I % 0 (10-142)
Usando la Ecuación (10-142), la tercera columna del lado derecho de la Ecuación (10-141) es
.a 3 B . a 2 AB . a 1 A 2 B % (.a 3 I . a 2 A . a 1 A 2 )B % A 3 B
Así, la Ecuación (10-141), se convierte en
[B AB A 2 B]C0 0 .a 3
1 0 .a 2
0 1 .a 1D%[AB A 2 B A 3 B]
Por tanto, ambos miembros de la Ecuación (10-140) son iguales. Se ha demostrado así que la
Ecuación (10-140) es verdadera. En consecuencia,
M .1 AM %C0 0 .a 3
1 0 .a 2
0 1 .a 1D
La deducción anterior se extiende con facilidad al caso general de cualquier entero positivo n.
Sea un sistema de estado completamente controlable
x5 % Ax ! Bu
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Defina
M % [B AB ñ A n.1 B]