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836 Ingeniería de control moderna
se encuentra que el rango de
[B4 A4 B4 A4 2 B4 ñ A4 n B4 ]
es n ! 1. Por tanto, el sistema definido por la Ecuación (10-168) es de estado completamente
controlable.
A-10-13.
Sea el sistema que se muestra en la Figura 10-49. Utilizando el método de asignación de polos
con observador, diseñe un sistema regulador tal que mantenga la posición cero (y 1 % 0e
y 2 % 0) frente a la presencia de perturbaciones. Seleccione los polos en lazo cerrado deseados
para la parte de la asignación de polos en las posiciones
s % .2 ! j2∂3, s % .2 . j2∂3, s % .10, s % .10
y los polos deseados para el observador de orden mínimo en
s % .15, s % .16
Primero, determine la matriz de ganancia de realimentación de estados K y la matriz de
ganancia del observador K e . A continuación obtenga la respuesta del sistema a una condición
inicial arbitraria; por ejemplo,
donde e 1 y e 2 se definen por
y 1 (0) % 0.1, y 2 (0) % 0, y51(0) % 0, y52(0) % 0
e 1 (0) % 0.1, e 2 (0) % 0.05
e 1 % y 1 . ỹ 1
e 2 % y 2 . ỹ 2
Suponga que m 1 % 1 kg, m 2 % 2 kg, k % 36 N/m y b % 0,6 N-s/m.
Solución.
Las ecuaciones para el sistema son
m 1 ÿ 1 % k(y 2 . y 1 ) ! b(y52 . y51) ! u
m 2 ÿ 2 % k(y 1 . y 2 ) ! b(y51 . y52)
Sustituyendo los valores numéricos dados para m 1 , m 2 , k y b y simplificando, se obtiene
ÿ 1 % .36y 1 ! 36y 2 . 0.6y51 ! 0.6y52 ! u
ÿ 2 % 18y 1 . 18y 2 ! 0.3y51 . 0.3y52
Se seleccionan las variables de estado como sigue:
x 1 % y 1
x 2 % y 2
x 3 % y51
x 4 % y52
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Figura 10-49. Sistema mecánico.