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Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 845
Figura 10-54. Diagrama de Bode del Sistema 1 (sistema con observador de orden
completo) y del Sistema 2 (sistema con observador de orden mínimo).
Sistema 1 % (296s ! 1024)/(s 4 ! 20s 3 ! 144s 2 ! 512s ! 1024)
Sistema 2 % (28s ! 128)/(s 3 ! 12s 2 ! 48s ! 128).
El controlador observador es claramente un compensador de adelanto.
La Figura 10-54 se muestran los diagramas de Bode del Sistema 1 (sistema en lazo cerrado
con observador de orden completo) y del Sistema 2 (sistema en lazo cerrado con observador
de orden mínimo). Claramente el ancho de banda del Sistema 2 es mayor que el del Sistema 1.
El Sistema 1 tiene una mejor característica de rechazo de ruido de alta frecuencia que el Sistema
2.
A-10-15.
Sea el sistema
x5 % Ax
donde x es un vector de estado (vector de dimensión n) yA es una matriz de coeficientes constantes
de n # n. Se supone que A es no singular. Demuestre que si el estado de equilibrio x % 0
del sistema es asintóticamente estable (es decir, si A es una matriz estable), entonces existe una
matriz P hermítica definida positiva tal que
A*P ! PA % .Q
donde Q es una matriz hermítica definida positiva.
Solución.
La ecuación diferencial matricial
X0 % A*X ! XA, X(0) % Q
tiene la solución
X % e A*t Qe At
Integrando ambos lados de esta ecuación diferencial matricial desde t % 0at % ä, se obtiene
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X(ä) . X(0) % A* AI = X dt B ! AI = X dt
0
0
BA