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Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 733
Primero se necesita comprobar la matriz de controlabilidad del sistema. Como la matriz de
controlabilidad M está dada por
M % [B AB A 2 B] %C0 0 1
0 1 .6
1 .6 31D
resulta que M % .1 y, por tanto, rango M % 3. Así, el sistema es de estado completamente controlable
y es posible la colocación arbitraria de los polos.
A continuación, se resuelve este problema. Se realizará con cada uno de los tres métodos presentados
en este capítulo.
Método 1. El primer método es usar la Ecuación (10-13). La ecuación característica para el sistema
es
.1 0
sI . A %Gs 6G
0 s .1
1 5 s !
% s 3 ! 6s 2 ! 5s ! 1
% s 3 ! a 1 s 2 ! a 2 s ! a 3 % 0
Por tanto,
a 1 % 6, a 2 % 5, a 3 % 1
La ecuación característica deseada es
(s ! 2 . j4)(s ! 2 ! j4)(s ! 10) % s 3 ! 14s 2 ! 60s ! 200
% s 3 ! a 1 s 2 ! a 2 s ! a 3 % 0
Así,
a 1 % 14, a 2 % 60, a 3 % 200
Si se toma en cuenta la Ecuación (10-13), se tiene que
K % [a 3 . a 3 a 2 . a 2 a 1 . a 1 ]T .1
donde T % I para este problema porque la ecuación de estado determinada está en la forma canónica
controlable. Por tanto, se tiene que
K % [200 . 1 60 . 5 14 . 6]
% [199 55 8]
Método 2. Definiendo la matriz de ganancias de realimentación del estado K deseada como
K % [k 1 k 2 k 3 ]
e igualando |sI . A ! BK| con la ecuación característica deseada, se obtiene
%GCs 0 0 0 1 0
sI . A ! BK 0 s 0 0 0 1 0
.1 .5 .6D!C0
%G
s .1 0
0 s .1
0 0 sD.C
1 ! k 1 5 ! k 2 s ! 6 ! k 3G
1D[k 1 k 2 k 3 ]G
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% s 3 ! (6 ! k 3 )s 2 ! (5 ! k 2 )s ! 1 ! k 1
% s 3 ! 14s 2 ! 60s ! 200