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702 Ingeniería de control moderna
donde el máximo común divisor de los n 2 elementos (que son funciones de j) deB(j) esla
unidad. Como
se obtiene
(jI . A) adj(jI . A) % jI . AI
d(j)(jI . A)B(j) % jI . AI (9-98)
a partir de lo cual se encuentra que |jI . A| es divisible entre d(j). Se puede escribir
jI . A % d(j)t(j) (9-99)
Como el coeficiente del término de d(j) de mayor grado en j se ha elegido igual a 1, también es
1 el coeficiente del término de t(j) de mayor grado en j. A partir de las Ecuaciones (9-98) y
(9-99), se tiene que
Por tanto,
Observe que t(j) se puede escribir como:
(jI . A)B(j) % t(j)I
t(A) % 0
t(j) % g(j)h(j) ! a(j)
donde a(j) tiene un grado menor que h(j). Como t(A) % 0 y h(A) % 0, se debe tener a(A) % 0.
Dado que h(j) es el polinomio mínimo, a(j) debe ser idénticamente cero, o
t(j) % g(j)h(j)
Observe que, debido a que h(A) % 0, se puede escribir
Por tanto,
h(j)I % (jI . A)C(j)
t(j)I % g(j)h(j)I % g(j)(jI . A)C(j)
Como (jI . A)B(j) % t(j)I, se obtiene
B(j) % g(j)C(j)
Observe que el máximo común divisor de los n 2 elementos de B(j) es la unidad. Por tanto,
Así,
g(j) % 1
t(j) % h(j)
Por tal razón, a partir de esta última ecuación y de la Ecuación (9-99), se deduce
jI . A
h(j) %
d(j)
A-9-9. Si una matriz A de n # n tiene n valores propios distintos, el polinomio mínimo de A es idéntico
al polinomio característico. También, si los valores propios múltiples de A se enlazan en una
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cadena de Jordan, el polinomio mínimo y el polinomio característico son idénticos. Sin embargo,
si los valores propios múltiples de A no se enlazan en una cadena de Jordan, el polinomio
mínimo es de un grado menor que el polinomio característico.