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478 Ingeniería de control moderna
Figura 7-80. (a) Sistema con realimentación unitaria; (b) determinación de la respuesta
en frecuencia en lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto.
La magnitud de la función de transferencia en lazo cerrado en u % u 1 es el cociente entre las
magnitudes de OA ydePA. El ángulo de fase de la función de transferencia en lazo cerrado en
u % u 1 es el ángulo formado por los vectores OA a PA, que es h . h, y que aparece en la Figura
7-80(b). Midiendo la magnitud y el ángulo de fase en diferentes puntos de frecuencia, se obtiene
la curva de respuesta en frecuencia en lazo cerrado.
Se define la magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado como M y el ángulo de fase
como a, o
C( ju)
R( ju) % Meja
A continuación, se buscan los lugares geométricos de magnitud constante y los lugares geométricos
de ángulo de fase constante. Tales lugares geométricos son adecuados para determinar la
respuesta en frecuencia en lazo cerrado a partir del diagrama polar o de Nyquist.
Lugares geométricos de magnitud constante (círculos M ). Para obtener los lugares
geométricos de magnitud constante, primero se considera que G(ju) es una cantidad compleja
que se escribe del modo siguiente:
G(ju) % X ! jY
donde X y Y son cantidades reales. A continuación se obtiene M mediante
y M 2 es
Por tanto,
X ! jY
M %
1 ! X ! jY
M 2 % X2 ! Y 2
(1 ! X) 2 ! Y 2
X 2 (1 . M 2 ) . 2M 2 X . M 2 ! (1 . M 2 )Y 2 % 0 (7-22)
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Si M % 1, entonces, a partir de la Ecuación (7-22), se obtiene X % . 1 2. Esta es la ecuación de
una recta paralela al eje Y y que pasa por el punto (. 1 2, 0).