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Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 835
A-10-12.
Los polos en lazo cerrado del sistema de control con realimentación del estado observado con un
observador de orden mínimo consisten en los polos en lazo cerrado debidos a la asignación de
polos y los polos en lazo cerrado debidos al observador de orden mínimo. (Por tanto, el diseño por
asignación de polos y el diseño del observador de orden mínimo son independientes uno del otro.)
Sea un sistema de estado completamente controlable definido mediante
x5 % Ax ! Bu (10-167)
y % Cx
donde x % vector de estado (vector de dimensión n)
u % señal de control (escalar)
y % señal de salida (escalar)
A % matriz de coeficientes constantes n # n
B % matriz de coeficientes constantes n # 1
C % matriz de coeficientes constantes 1 # n
Suponga que el rango de la matriz de (n ! 1) # (n ! 1) siguiente
C
A B
.C 0D
es n ! 1. Demuestre que el sistema definido por
donde
e5 % A4 e ! B4 u e (10-168)
A4 % C A 0
.C 0D , B4 % C B 0D , u e % u(t) . u(ä)
es de estado completamente controlable.
Solución. Defina
M % [B AB ñ A n.1 B]
Debido a que el sistema dado por la Ecuación (10-167) es de estado completamente controlable,
el rango de la matriz M es n. Entonces, el rango de
CM 0
0 1D
es n ! 1. Considere la ecuación siguiente:
C
A B
.C 0DC M 0
0 1D % C AM B
(10-169)
.CM 0D
Como la matriz
C
A B
.C 0D
es de rango n ! 1, el miembro izquierdo de la Ecuación (10-169) es de rango n ! 1. Por tanto,
el miembro derecho de la Ecuación (10-169) es también de rango n ! 1. Como
C
AM B
.CM 0D % C A[B AB ñ An.1 B] B
.C[B AB ñ A n.1 B] 0D
% C AB A2 B ñ A n B B
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.CB .CAB ñ .CA n.1 B
% [A4 B4 A4 2 B4 ñ A4 n B4 B4 ]
0D