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796 Ingeniería de control moderna
EJEMPLO 10-9 Sea el sistema de la Figura 10-36. Suponiendo que la señal de control es
u(t) % .Kx(t)
determine la matriz de ganancias de realimentación óptima K tal que se minimice el índice de
comportamiento siguiente:
donde
J %
I = (x T Qx ! u 2 ) dt
0
Q % C1 0
0 kD
(k n 0)
A partir de la Figura 10-36, se encuentra que la ecuación de estado para la planta es
donde
x5 % Ax ! Bu
A % C0 1
0 0D , B % C 0 1D
Se demuestra el uso de la ecuación matricial reducida de Riccati en el diseño del sistema de
control óptimo. Se resuelve la Ecuación (10-118), que puede reescribirse como
A*P ! PA . PBR .1 B*P ! Q % 0
Si se considera que la matriz A es real y que la matriz Q es simétrica real, la matriz P es una
matriz simétrica real. Por tanto, esta última ecuación se escribe como
C0 0
1 0DC p 11 p 12
p 12 p 22 D
Esta ecuación se simplifica a
C
0 0
p 11 p 12 D
! C p 11 p 12
p 12 p 22 DC 0 1
0 0D
11 p 12
. Cp p 12 p 22 DC 0 1D [1] [0 1] C p 11 p 12
p 12 p 22 D ! C 1 0
0 kD % C 0 0
0 0D
! C 0 p 11
0 p 12 D
. C p2 12 p 12 p 22
p 12 p 22 p 2 22 D
! C 1 0
0 kD % C 0 0
0 0D
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Figura 10-36. Sistema de control.