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752 Ingeniería de control moderna
estimar las variables de estado que no están disponibles. La estimación de variables de estado no
medibles se denomina normalmente observación. Un dispositivo (o un programa de computador)
que estima u observa las variables de estado se llama un observador de estado, o, simplemente,
un observador. Si el observador de estado capta todas las variables de estado del sistema, sin
importar si algunas están disponibles por medición directa, se denomina observador de estado de
orden completo. Hay ocasiones en las que un observador de este tipo no es necesario, ya que sólo
se requiere la observación de las variables de estado que no se miden, pero no de aquellas que
también se miden directamente. Por ejemplo, como las variables de salida son observables y se
relacionan en forma lineal con las variables de estado, no se necesita observar todas las variables
de estado, sino sólo las n . m variables de estado, donde n es la dimensión del vector de estado y
m es la dimensión del vector de salida.
Un observador que estima menos de n variables de estado, donde n es la dimensión del vector
de estado, se denomina observador de estado de orden reducido o, simplemente, un observador
de orden reducido. Si el observador de estado de orden reducido es el orden mínimo posible, se
denomina observador de estado de orden mínimo u observador de orden mínimo. En esta sección
se analizará el observador de estado de orden completo y el observador de estado de orden
mínimo.
Observador de estado. Un observador de estado estima las variables de estado basándose
en las mediciones de las variables de salida y de control. Por lo tanto, el concepto de observabilidad
analizado en la Sección 9.7 juega un papel importante. Como se verá más adelante,
los observadores de estado pueden diseñarse si y sólo si se satisface la condición de observabilidad.
En el análisis que sigue de los observadores de estado, se utilizará la notación x˜ para designar
el vector de estado observado. En muchos casos prácticos, el vector de estado observado x˜ se usa
en la realimentación del estado para generar el vector de control deseado.
Sea el sistema definido mediante
x5 % Ax ! Bu (10-55)
y % Cx (10-56)
El observador es un subsistema para reconstruir el vector de estado de la planta. El modelo matemático
del observador es básicamente el mismo que el de la planta, salvo que se incluye un término
adicional que contiene el error de estimación para compensar las imprecisiones en las matrices
A y B y la falta del error inicial. El error de estimación o error de observación es la
diferencia entre la salida medida y la salida estimada. El error inicial es la diferencia entre el
estado inicial y el estado estimado inicial. De esta forma, se define el modelo matemático del
observador como
x˜5 % Ax˜ ! Bu ! K e (y . Cx˜)
% (A . K e C)x˜ ! Bu ! K e y (10-57)
donde x˜ es el estado estimado y Cx˜ es la salida estimada. Las entradas al observador son la salida
y y la entrada de control u. La matriz K e , que se llama matriz de ganancia del observador, es una
matriz de ponderación al término de corrección que involucra la diferencia entre la salida medida
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y y la salida estimada Cx˜. Este término corrige de forma continua la salida del modelo y mejora
el comportamiento del observador. La Figura 10-11 muestra el diagrama de bloques del observador
de estado de orden completo del sistema.