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Capítulo 9. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 677
Si se define
I t 1
0
entonces la Ecuación (9-54) se convierte en
n.1
x(0) % . ; A k Bb k
k%0
a k (q)u(q) dq % b k
% .[B AB ñ A n.1 B]C
b 0
b 1
ó
b n.1D
(9-55)
Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial
x(0), la Ecuación (9-55) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz n # n
[B AB ñ A n.1 B]
sea n.
De este análisis, se puede concluir la condición para controlabilidad completa del estado de
la forma siguiente. El sistema obtenido mediante la Ecuación (9-51) es de estado completamente
controlable si y sólo si los vectores B, AB, ..., A n.1 B son linealmente independientes, o la matriz
n # n
[B AB ñ A n.1 B]
es de rango n.
El resultado recién obtenido se extiende al caso en el que el vector de control u es de dimensión
r. Si el sistema se describe por
x5 % Ax ! Bu
donde u es un vector de dimensión r, se demuestra que la condición para controlabilidad completa
del estado es que la matriz n # nr
[B AB ñ A n.1 B]
sea de un rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes. La matriz
[B AB ñ A n.1 B]
se conoce comúnmente como matriz de controlabilidad.
EJEMPLO 9-10 Sea el sistema dado por
Como
C 1
x52D % C 1 1
0 .1DC x 1
x 2 D ! C 1 0D u
[B AB] % 1
C1 0 0D % singular
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el sistema no es de estado completamente controlable.