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354 Ingeniería de control moderna
Figura 6-67.
(a) Sistema de control; (b) gráfica del lugar de las raíces.
se tiene que
Ahora se establece
de donde se obtiene
K %.(s 3 ! 4s 2 ! 5s)
dK
ds %.(3s2 ! 8s ! 5) % 0
s %.1, s %.1.6667
Debido a que estos puntos están sobre los lugares de las raíces, son puntos de ruptura y de ingreso
reales. (En el punto s %.1, el valor de K es 2, y en el punto s %.1.6667, el valor de K es 1.852.)
El ángulo de salida de un polo complejo en la mitad superior del plano s se obtiene a partir de
h % 180 o . 153.43 o . 90 o
o bien
h %.63.43 o
La rama del lugar de las raíces a partir del polo complejo en la mitad superior del plano s corta al
eje real en s %.1.6667.
A continuación se determinan los puntos donde las ramas del lugar de las raíces cruzan el eje
imaginario. Sustituyendo s % ju en la ecuación característica, se tiene que
(ju) 3 ! 4(ju) 2 ! 5(ju) ! K % 0
o bien
(K . 4u 2 ) ! ju(5 . u 2 ) % 0
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a partir de la cual se obtiene
u %u∂5, K % 20 o bien u % 0, K % 0