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670 Ingeniería de control moderna
Además de los métodos de cálculo, existen varios métodos analíticos para la determinación
de e At . A continuación se presentan tres de estos métodos.
Cálculo de e At : método 1.
se obtiene mediante
Si la matriz A se transforma en una forma diagonal, entonces e At
e At % Pe Dt P .1 % PCe j 1 t 0
e j 2 t . ..
0 e j n tDP .1 (9-46)
donde P es una matriz de diagonalización para A. [Para la obtención de la Ecuación (9-46), véase
el Problema A-9-11.]
Si la matriz A se transforma en una forma canónica de Jordan, entonces e At se obtiene mediante
e At % Se Jt S .1
donde S es una matriz de transformación que convierte a la matriz A en su forma canónica de
Jordan J.
Como ejemplo, considérese la siguiente matriz A:
La ecuación característica es
A %C0 1 0
0 0 1
1 .3 3D
jI . A % j 3 . 3j 2 ! 3j . 1 % (j . 1) 3 % 0
Por tanto, la matriz A tiene un valor propio múltiple de orden 3 en j % 1. Se puede demostrar
que la matriz A tiene un vector propio múltiple de orden 3. La matriz de transformación que
convertirá la matriz A a su forma canónica de Jordan viene dada por
S %C1 0 0
1 1 0
1 2 1D
La inversa de la matriz S es
0 0
1D
.1 1 0
1 .2
Se observa, así, que
%C 1 0 0 1 0 0 0
1D
S .1 AS .1 1 0 0 0 1 1 1 0
1 2 1 0
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%C1
0 1 1
0 0 1D%J
%C 1
S .1
1 .2 1DC0
1 .3 3DC1