www.FreeLibros.org

Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 833
o bien
y % [1 1] C.1 0
1 1DC x4 1
x4 2D % [0 1] C x4 1
x4 2D
(10-158)
Las Ecuaciones (10-157) y (10-158) están en la forma canónica observable.
A-10-10.
Para el sistema definido por
x5 % Ax ! Bu
y % Cx
considere el problema de diseñar un observador de estado tal que los valores propios deseados
para la matriz de ganancia del observador sean k 1 , k 2 , ..., k n .
Demuestre que la matriz de ganancia del observador dada por la Ecuación (10-61), reescrita
como
.1C
a n . a n
a n.1 . a n.1
K e
D
% (WN*) (10-159)
ó
a 1 . a 1
se obtiene a partir de la Ecuación (10-13) considerando el problema dual. Es decir, la matriz K e
se puede determinar considerando el problema de asignación de polos para el sistema dual,
obteniendo la matriz de ganancia de realimentación del estado K y tomando su transpuesta
conjugada, o K e % K*.
Solución.
El dual del sistema dado es
z5 % A*z ! C*v (10-160)
n % B*z
Usando el control por realimentación del estado
la Ecuación (10-160) es
v % .Kz
z5 % (A* . C*K)z
La Ecuación (10-13), que se reescribe aquí, es
donde
K % [a n . a n a n.1 . a n.1 ñ a 2 . a 2 a 1 . a 1 ]T .1 (10-161)
T % MW % [C* A*C* ñ (A*) n.1 C*]W
Para el sistema original, la matriz de observabilidad es
[C* A*C* ñ (A*) n.1 C*] % N
Por tanto, la matriz T se puede escribir también como
T % NW
Como W % W*, se tiene que
T* % W*N* % WN*
www.FreeLibros.org
y
(T*) .1 % (WN*) .1