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Capítulo 9. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 667
Al integrar la ecuación anterior entre 0 y t se obtiene
e .At x(t) . x(0) % I t e .Aq Bu(q) dq
0
o bien
x(t) % e At x(0) ! I t
e A(t.q) Bu(q) dq (9-41)
0
La Ecuación (9-41) también se escribe como
x(t) % (t)x(0) ! I t
(t . q)Bu(q) dq (9-42)
donde (t) % e At . La Ecuación (9-41) o (9-42) es la solución de la Ecuación (9-40). La solución
x(t) es claramente la suma de un término formado por la transición del estado inicial y un término
que surge del vector de entradas.
Método de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones de estado
del caso no homogéneo. La solución de la ecuación de estado no homogénea
0
x0% Ax ! Bu
también puede obtenerse mediante el método de la transformada de Laplace. La transformada de
Laplace de esta última ecuación da
o bien
sX(s) . x(0) % AX(s) ! BU(s)
(sI . A)X(s) % x(0) ! BU(s)
Premultiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (sI . A) .1 , obtenemos
X(s) % (sI . A) .1 x(0) ! (sI . A) .1 BU(s)
Al usar la relación dada por la Ecuación (9-36) da
X(s) % [e At ]x(0) ! [e At ]BU(s)
La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación se obtiene a partir de la integral de
convolución, del modo siguiente:
x(t) % e At x(0) ! I t
e A(t.q) Bu(q) dq
Solución en términos de x(t 0 ). Hasta aquí se ha supuesto que el tiempo inicial es cero.
Sin embargo, si el tiempo inicial está dado mediante t 0 , en lugar de 0, la solución para la Ecuación
(9-40) debe modificarse a
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x(t) % e A(t.t 0 ) x(t 0 ) ! I t
e A(t.q) Bu(q) dq (9-43)
t 0
0