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296 Ingeniería de control moderna
Figura 6-20.
Gráfica del lugar de las raíces del sistema definido en el espacio de estados,
donde A, B, C y D se obtienen de la Ecuación (6-15).
Lugares de las raíces con constante y n constante. Recuérdese que en el plano
complejo la razón de amortiguamiento f de un par de polos complejos conjugados se puede expresar
en función del ángulo h, el cual se mide desde el eje real negativo, como se muestra en la
Figura 6-21(a), con
f % cos h
Con otras palabras, las líneas con razón de amortiguamiento f constante son radiales que pasan
por el origen como muestra la Figura 6-21(b). Por ejemplo, una razón de amortiguamiento de 0.5
requiere que los polos complejos se encuentren sobre una línea que pase por el origen con ángulos
de u60 o con el eje real negativo. (Si la parte real de un par de polos complejos es positiva, lo
que significa que el sistema es inestable, el correspondiente f es negativo.) La razón de amorti-
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Figura 6-21. (a) Polos complejos; (b) líneas de amortiguamiento f constante.