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344 Ingeniería de control moderna
Observe que la variable k no aparece como un factor multiplicativo. La ecuación característica
para el sistema es
s 3 ! 5s 2 ! 4s ! 20ks ! 20 % 0 (6-26)
Se define
20k % K
La Ecuación (6-26) se convierte en
s 3 ! 5s 2 ! 4s ! Ks ! 20 % 0 (6-27)
Dividiendo ambos lados de la Ecuación (6-27) por la suma de los términos que no contienen K, se
obtiene
Ks
1 !
s 3 ! 5s 2 ! 4s ! 20 % 0
o bien
Ks
1 !
(s ! j2)(s . j2)(s ! 5) % 0 (6-28)
La Ecuación (6-28) tiene la forma de la Ecuación (6-11).
A continuación se dibuja el lugar de las raíces del sistema dado por la Ecuación (6-28). Oberve
que los polos en lazo abierto se localizan en s % j2, s % .j2, s % .5, y el cero en lazo abierto se
localiza en s % 0. El lugar de las raíces existe sobre el eje real entre 0 y .5. Por tanto,
Se tiene
lím
srä
Ks
(s ! j2)(s . j2)(s ! 5) % lím K
srä s 2
Ángulos de las asíntotas % u180o (2k ! 1)
% u90 o
2
La intersección de las asíntotas con el eje real se calcula a partir de
donde
lím
srä
Ks
s 3 ! 5s 2 ! 4s ! 20 % lím
srä
s %.2.5
K
s 2 ! 5s ! ñ % lím
srä
K
(s ! 2.5) 2
El ángulo de salida (ángulo h) del polo en s % j2 se obtiene como sigue:
h % 180 o . 90 o . 21.8 o ! 90 o % 158.2 o
Por tanto, el ángulo de salida del polo s % j2 es 158.2 o . La Figura 6-62 muestra la gráfica del lugar
de las raíces para el sistema. Observe que dos ramas del lugar de las raíces parten de los polos en
s % uj2 y terminan en los ceros en el infinito. La rama restante parte del polo en s % .5 y termina
en el cero en s % 0.
Observe que los polos en lazo cerrado f % 0.4 deben encontrarse en líneas rectas que pasan por
el origen y hacen ángulos de u66.42 o con el eje real negativo. En este caso, hay dos intersecciones
de la rama del lugar de las raíces en el semiplano superior s y la línea recta de ángulo 66.42 o . Por
tanto, los dos valores de K darán un factor de amortiguamiento relativo f de los polos en lazo
cerrado igual a 0.4. En el punto P el valor de K es
(s ! j2)(s . j2)(s ! 5)
K % % 8.9801
G s G s%.1.0490!j2.4065
Por tanto,
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k % K 20 % 0.4490 en el punto P