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Capítulo 9. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 669
donde B 1 % I. Dado que
se obtiene
(jI . A) adj(jI . A) % [adj(jI . A)](jI . A) % jI . AI
jI . AI % Ij n ! a 1 Ij n.1 ! ñ ! a n.1 Ij ! a n I
% (jI . A)(B 1 j n.1 ! B 2 j n.2 ! ñ ! B n.1 j ! B n )
% (B 1 j n.1 ! B 2 j n.2 ! ñ ! B n.1 j ! B n )(jI . A)
En esta ecuación se ve que A y B i (i % 1, 2, ..., n) sí conmutan. Por tanto, el producto de
(jI . A) y adj(jI . A) se hace cero si cualquiera de ellas es cero. Si se sustituye A por j en esta
última ecuación, es evidente que jI . A se hace cero. Por tanto, se obtiene
A n ! a 1 A n.1 ! ñ ! a n.1 A ! a n I % 0
Esto prueba el teorema de Cayley-Hamilton, o la Ecuación (9-44).
Polinomio mínimo. El teorema de Cayley-Hamilton asegura que toda matriz A de n # n
satisface su propia ecuación característica. Sin embargo, la ecuación característica no necesariamente
es la ecuación escalar de grado mínimo que A satisface. El polinomio de grado mínimo
que tiene a A como raíz se denomina polinomio mínimo. Es decir, el polinomio mínimo de la
matriz A de n # n se define como el polinomio h(j) de grado mínimo,
tal que h(A) % 0, o
h(j) % j m ! a 1 j m.1 ! ñ ! a m.1 j ! a m ,
m m n
h(A) % A m ! a 1 A m.1 ! ñ ! a m.1 A ! a m I % 0
El polinomio mínimo representa una función importante en el cálculo de polinomios de una matriz
de n # n.
Supóngase que d(j), polinomio en j, es el máximo común divisor de todos los elementos de
adj(jI . A). Se puede demostrar que si se elige 1 como el coeficiente del término de mayor
grado en j de d(j), el polinomio mínimo h(j) se obtiene mediante
jI . A
h(j) % (9-45)
d(j)
[Véase el Problema A-9-8 para la obtención de la Ecuación (9-45).]
Se observa que el polinomio mínimo h(j) de una matriz A de n # n se determina mediante el
procedimiento siguiente:
1. Forme adj(jI . A) y escriba los elementos de adj(jI . A) como polinomios factorizados
en j.
2. Determine d(j) como el máximo común divisor de todos los elementos de adj(jI . A).
Seleccione 1 como el coeficiente del término de mayor grado en j de d(j). Si no hay un
común divisor, d(j) % 1.
3. El polinomio mínimo h(j) se obtiene, entonces, como adjjI . A dividido entre d(j).
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Matriz exponencial e At . En la resolución de problemas de ingeniería de control, con frecuencia
resulta necesario calcular e At . Si se tiene la matriz A de forma numérica, MATLAB ofrece
una forma simple de calcular e AT , donde T es una constante.