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52 Ingeniería de control moderna
Como
se tiene que
x 3 % ÿ . b 0 ü . b 1 u5. b 2 u
x5 3 % ... y . b 0
...
u . b 1 ü . b 2 u5
% (.a 1 ÿ . a 2 y5. a 3 y) ! b 0
...
u ! b 1 ü ! b 2 u5! b 3 u . b 0
...
u . b 1 ü . b 2 u5
Por tanto, se obtiene
% .a 1 (ÿ . b 0 ü . b 1 u5. b 2 u) . a 1 b 0 ü . a 1 b 1 u5. a 1 b 2 u
. a 2 (y5. b 0 u5. b 1 u) . a 2 b 0 u5. a 2 b 1 u . a 3 (y . b 0 u) . a 3 b 0 u
...
...
! b 0 u ! b 1 ü ! b 2 u5! b 3 u . b 0 u . b 1 ü . b 2 u5
% .a 1 x 3 . a 2 x 2 . a 3 x 1 ! (b 0 . b 0 ) ... u ! (b 1 . b 1 . a 1 b 0 )ü
! (b 2 . b 2 . a 1 b 1 . a 2 b 0 )u5! (b 3 . a 1 b 2 . a 2 b 1 . a 3 b 0 )u
% . a 1 x 3 . a 2 x 2 . a 3 x 1 ! (b 3 . a 1 b 2 . a 2 b 1 . a 3 b 0 )u
% . a 1 x 3 . a 2 x 2 . a 3 x 1 ! b 3 u
x5 3 % .a 3 x 1 . a 2 x 2 . a 1 x 3 ! b 3 u (2-63)
Combinando las Ecuaciones (2-61), (2-62) y (2-63) en una ecuación diferencial matricial, se obtiene
la Ecuación (2-59). Asimismo, a partir de la definición de la variable de estado x 1
se obtiene la ecuación de salida producida por la Ecuación (2-60).
A-2-7.
Obtenga la ecuación en el espacio de estados y la ecuación de salida definida por
Solución.
Y(s)
U(s) % 2s3 ! s 2 ! s ! 2
s 3 ! 4s 2 ! 5s ! 2
A partir de la función de transferencia dada, la ecuación diferencial del sistema es
...
y ! 4ÿ ! 5y5! 2y % 2 ... u ! ü ! u5! 2u
Si se compara esta ecuación con la ecuación estándar dada por la Ecuación (2-33), se puede
reescribir
...
...
y ! a 1 ÿ ! a 2 y5! a 3 y % b 0 u ! b 1 ü ! b 2 u5! b 3 u
se encuentra
a 1 % 4, a 2 % 5, a 3 % 2
b 0 % 2, b 1 % 1, b 2 % 1, b 3 % 2
Si se refiere a la Ecuación (2-35) se obtiene
b 0 % b 0 % 2
b 1 % b 1 . a 1 b 0 % 1 . 4 # 2 % .7
b 2 % b 2 . a 1 b 1 . a 2 b 0 % 1 . 4 # (.7) . 5 # 2 % 19
b 3 % b 3 . a 1 b 2 . a 2 b 1 . a 3 b 0
% 2 . 4 # 19 . 5 # (.7) . 2 # 2 % .43
En referencia a la Ecuación (2-34) se define
x 1 % y . b 0 u % y . 2u
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x 2 % x5 1 . b 1 u % x5 1 ! 7u
x 3 % x5 2 . b 2 u % x5 2 . 19u