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Capítulo 5. Análisis de la respuesta transitoria y estacionaria 257
A partir de este análisis, se observa que
B 4 % a 11 a 22 a 33 a 44
B 3 % a 11 a 22 a 33
B 2 % a 11 a 22
B 1 % a 11
Las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica
se reducen a las condiciones
El array de Routh para el polinomio
B 1 b 0, B 2 b 0, B 3 b 0, B 4 b 0, ...
a 11 b 0, a 22 b 0, a 33 b 0, a 44 b 0, ...
donde a 0 b 0yn % 4, se obtiene a partir de
A partir de este array de Routh se observa que
a 0 s 4 ! a 1 s 3 ! a 2 s 2 ! a 3 s ! a 4 % 0
a 11 % a 1
a 0 a 2 a 4
a 1 a 3
b 1 b 2
c 1
d 1
a 22 % a 2 . a 0
a 1
a 3 % b 1
a 33 % a 3 . a 1
a 22
a 23 % a 3b 1 . a 1 b 2
b 1
% c 1
A-5-21.
a 44 % a4 44 . a4 43
a 33
a 34 % a 4 % d 1
(La última ecuación se obtiene utilizando el hecho de que a 34 % 0, a4 44 % a 4 y a 4 % b 2 % d 1 .)
Por tanto, las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica se transforman en
a 1 b 0, b 1 b 0, c 1 b 0, d 1 b 0
De esta manera, se demuestra que las condiciones de Hurwitz para la estabilidad asintótica se
reducen a las condiciones de Routh para la estabilidad asintótica. El mismo argumento se extiende
para los determinantes de Hurwitz de cualquier orden, y es posible establecer la equivalencia
entre el criterio de estabilidad de Routh y el criterio de estabilidad de Hurwitz.
Considere la ecuación característica
s 4 ! 2s 3 ! (4 ! K)s 2 ! 9s ! 25 % 0
Utilizando el criterio de estabilidad de Hurwitz, determine el rango de K para la estabilidad.
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Solución. Comparando la ecuación característica dada
s 4 ! 2s 3 ! (4 ! K)s 2 ! 9s ! 25 % 0