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728 Ingeniería de control moderna
Ahora se simplifica la ecuación característica del sistema a su forma canónica controlable. Si se
toman en cuenta las Ecuaciones (10-8), (10-9) y (10-11), se tiene
sI . T
.C .1 AT ! T .1 BKT
0 1 ñ 0
ó ó ó ó
%GsI
0 0 ñ 1 0
.a n .a n.1 ñ .a 1D!C0
1D[d n d n.1 ñ d 1 ]G
%G
1G
a n ! d n a n.1 ! d n.1 ñ s ! a 1 ! d
s .1 ñ 0
0 s ñ 0
ó ó ó ó
% s n ! (a 1 ! d 1 )s n.1 ! ñ ! (a n.1 ! d n.1 )s ! (a n ! d n ) % 0 (10-12)
Esta es la ecuación característica para el sistema con realimentación del estado. Por tanto, debe
ser igual a la Ecuación (10-10), que es la ecuación característica deseada. Igualando los coeficientes
de las potencias iguales de s, se obtiene
a 1 ! d 1 % a 1
a 2 ! d 2 % a 2
ó
a n ! d n % a n
Resolviendo las ecuaciones anteriores para las d i y sustituyéndolas en la Ecuación (10-11), se
obtiene
K % [d n d n.1 ñ d 1 ]T .1
% [a n . a n a n.1 . a n.1 ñ a 2 . a 2 a 1 . a 1 ]T .1 (10-13)
Por tanto, si el sistema es de estado completamente controlable, todos los valores propios se colocan
arbitrariamente seleccionando la matriz K de acuerdo con la Ecuación (10-13) (condición
suficiente).
Se ha demostrado así que una condición necesaria y suficiente para la colocación arbitraria
de los polos es que el sistema sea de estado completamente controlable.
Se observa que si el sistema no es de estado completamente controlable, pero es estabilizable,
entonces es posible hacer que el sistema completo sea estable al colocar los polos en lazo
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cerrado en las posiciones deseadas para los q modos controlables. Los restantes n.q modos no
controlables son estables. De esta forma, el sistema completo se puede estabilizar.