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652 Ingeniería de control moderna
EJEMPLO 9-1 Considere el sistema definido por
Y(s)
U(s) % s ! 3
s 2 ! 3s ! 2
Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, en la forma
canónica observable y en la forma canónica diagonal.
Forma canónica controlable:
C x5 1(t)
x52(t)D % C 0 1
.2 .3DC x 1(t)
x 2 (t)D ! C 0 1D u(t)
y(t) % [3
1] Cx 1(t)
x 2 (t)D
Forma canónica observable:
x51(t)
C x52(t)D % C 0 .2
1 .3DC x 1(t)
x 2 (t)D ! C 3 1D u(t)
y(t) % [0
1] Cx 1(t)
x 2 (t)D
Forma canónica diagonal:
x51(t)
C x52(t)D % C .1 0
0 .2DC x 1(t)
x 2 (t)D ! C 1 1D u(t)
y(t) % [2
.1] Cx 1(t)
x 2 (t)D
Valores propios de una matriz A de n # n.
n # n son las raíces de la ecuación característica
jI . A % 0
Los valores propios de una matriz A de
Los valores propios también se denominan raíces características. Por ejemplo, considérese la matriz
A siguiente:
%C 0 1 0
A 0 0 1
.6 .11 .6D
La ecuación característica es
.1 0
6G
jI . A 0 j .1
%Gj 6 11 j !
% j 3 ! 6j 2 ! 11j ! 6
% (j ! 1)(j ! 2)(j ! 3) % 0
Los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica, .1, .2 y.3.
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Diagonalización de una matriz de n # n. Obsérvese que, si una matriz A de n # n
con valores propios distintos, está dada por