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854 Ingeniería de control moderna
Solución. En la Figura 10-57(a) se obtiene la función de transferencia entre el punto A yel
punto B. A partir de la Figura 10-57(a) se obtiene la Figura 10-57(b). Entonces la función de
transfrencia entre los puntos A y B se obtiene como
Se define
K
% K(1 ! GK).1
1 ! GK
K(1 ! GK) .1 % T a
De la Figura 10-57(b) se obtiene la Figura 10-57(c). A partir del teorema de la pequeña ganancia,
la condición de estabilidad robusta del sistema en lazo cerrado se obtiene como
B a T a ä a 1 (10-180)
Como es imposible modelar B a de una forma precisa, es necesario encontrar una función de
transferencia escalar W a (ju) tal que
p6 {B a (ju)} a W a ( ju)
para todo u
y se utiliza W a (ju) en lugar de B a . Por tanto, la condición de estabilidad robusta del sistema en
lazo cerrado se puede expresar como
W a T a ä a 1 (10-181)
Si la Desigualdad (10-181) se cumple, entonces es evidente que la Desigualdad (10-180) también
se cumple. Por tanto, esta es la condición que garantiza la estabilidad robusta del sistema
diseñado. En la Figura 10-57(e), se ha sustituido B a por W a I en la Figura 10-57(d).
En resumen, si se hace que la norma H ä de la función de transferencia desde w a z sea
menor que 1, se puede calcular el controlador K que satisface la Desigualdad (10-181).
La Figura 10-57(e) se puede volver a dibujar como muestra la Figura 10-57(f) con un diagrama
de la planta generalizado para el sistema considerado.
Obsérvese que para este problema la matriz J que relaciona la variable controlada z yla
perturbación exógena w está dada por
z % J(s)w % (W a T a )w % [W a K(I ! GK) .1 ]w
Observe que u(s) % K(s)y(s) y teniendo en cuenta la Ecuación (10-128), J(s) se determina con
los elementos de la matriz P como sigue:
J(s) % P 11 ! P 12 K(I . P 22 K) .1 P 21
Para hacer igual esta J(s) a W a K(I ! GK) .1 , se escoge P 11 % 0, P 12 % W a , P 21 % I y
P 22 %.G. Por tanto, la matriz P para este problema se obtiene como
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P % W a
C0 I .GD