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846 Ingeniería de control moderna
Considerando que A es una matriz estable y, por tanto, X(ä) % 0, se obtiene
Si se hace
.X(0) % .Q % A* AI =
0
X dt B ! AI =
P %
I = X dt %
I = e A*t Qe At dt
0 0
0
X dt B A
Observe que los elementos de e At son sumas finitas de términos como e j i t , te j i t , ..., t m i .1 e j i t ,
donde los j i son los valores propios de A y m i es la multiplicidad de j i . Como j i posee partes
reales negativas,
I = e A*t Qe At dt
0
existe. Observe que
P* %
I = e A*t Qe At dt % P
0
Por tanto, P es hermítica (o simétrica si P es una matriz real). Así se demuestra que, para una
matriz A estable y para una matriz Q hermítica definida positiva, existe una matriz P hermítica
tal que A*P ! PA % .Q. Ahora se necesita demostrar que P es definida positiva. Considere
la siguiente forma hermítica:
x*Px % x*
I = e A*t Qe At dt x
0
%
I = (e At x)*Q(e At x) dt b 0,
0
para x Ç 0
% 0, para x % 0
Por tanto, P es definida positiva. Esto concluye la demostración.
A-10-16.
Sea el sistema de control descrito por
donde
Suponiendo la ley de control lineal
x5 % Ax ! Bu (10-173)
A % C0 1
0 0D , B % C 0 1D
u % .Kx % .k 1 x 1 . k 2 x 2 (10-174)
determine las constantes k 1 y k 2 de modo que el índice de comportamiento siguiente se minimice:
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J %
I = x T x dt
0