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774 Ingeniería de control moderna
EJEMPLO 10-8 Sea el sistema
donde
0 1 0
0 0 1
x5 % Ax ! Bu
y % Cx
%C
A B %C0
.6 .11 .6D,
0 C % [1 0 0]
1D,
Suponga que se desea colocar los polos en lazo cerrado en
s 1 % .2 ! j2∂3, s 2 % .2 . j2∂3, s 3 % .6
Entonces la matriz de ganancia de realimentación del estado K que es necesaria se puede obtener
como sigue:
K % [90 29 4]
(Véase el Programa 10-10 de MATLAB para el cálculo en MATLAB de esta matriz K.)
Suponga que la salida y se puede medir con precisión, de forma que la variable de estado x 1
(que es igual a y), no necesita estimarse. Diseñe un observador de orden mínimo. (El observador
de orden mínimo es de segundo orden.) Suponga también que los polos del observador deseados
se seleccionan en
s % .10, s % .10
Si se tiene en cuenta la Ecuación (10-95), la ecuación característica para el observador de orden
mínimo es
sI . A bb ! K e A ab % (s . k 1 )(s . k 2 )
% (s ! 10)(s ! 10)
% s 2 ! 20s ! 100 % 0
A continuación, se utilizará la fórmula de Ackermann dada por la Ecuación (10-97).
)C
A ab
K e % h(A bb
A ab A bbD.1
donde
Como
se tiene que
h(A bb ) % A 2 bb ! a4 1A bb ! a4 2I % A 2 bb ! 20A bb ! 100I
C 0 1D
(10-99)
%Cx 1
%C
0 1 0
a
x˜ %
x˜bD Cx A B %C0
1D
x˜2
0 0 1
0
x˜3D, .6 .11 .6D,
A aa % 0, A ab % [1 0], A ba % C .6D
0
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A bb % C 0 1
.11 .6D , B a % 0, B b %
1D C0