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768 Ingeniería de control moderna
Sin embargo, es importante considerar que, si la medida de las variables de salida contiene
ruido significativo y es relativamente imprecisa, el uso del observador de orden completo puede
dar un mejor comportamiento del sistema.
Para presentar la idea básica del observador de orden mínimo, sin complicaciones matemáticas
innecesarias, se expondrá el caso en el que la salida es un escalar (es decir, m % 1) y se
derivará la ecuación de estado para el observador de orden mínimo. Sea el sistema
x5 % Ax ! Bu (10-79)
y % Cx (10-80)
donde el vector de estado x se particiona en dos partes x a (un escalar) y x b [un vector de dimensión
(n . 1)]. Aquí la variable de estado x a es igual a la salida y de modo que se mide directamente,
y x b es la parte no medible del vector de estado. De esta forma, el estado particionado y
las ecuaciones de salida son
C x 5a
x5 bD % C A aa
A ba
A ab
A bb DC x a
x b D ! C B a
B b D u (10-81)
y % [1
0] Cx a
x b D
(10-82)
donde A aa % escalar
A ab % matriz de 1 # (n . 1)
A ba % matriz de (n . 1) # 1
A bb % matriz de (n . 1) # (n . 1)
B a % escalar
B b % matriz de (n . 1) # 1
A partir de la Ecuación (10-81), la ecuación para la parte medida del estado es
o bien
x5a % A aa x a ! A ab x b ! B a u
x5a . A aa x a . B a u % A ab x b (10-83)
Los términos del miembro izquierdo de la Ecuación (10-83) se pueden medir. La Ecuación
(10-83) funciona como la ecuación de salida. A1 diseñar el observador de orden mínimo, se considera
que el lado izquierdo de la Ecuación (10-83) contiene cantidades conocidas. Por tanto, la
Ecuación (10-83) relaciona las cantidades medibles y no medibles del estado.
A partir de la Ecuación (10-81), la ecuación de la parte no medida del estado es
x5
b % A ba x a ! A bb x b ! B b u (10-84)
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Si se considera que los términos A ba x a y B b u son cantidades conocidas, la Ecuación (10-84) describe
la dinámica de la parte no medida del estado.