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Capítulo 6. Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces 353
o bien
u(p 3 ! 2.4p 2 ! 1.44p ! 1.6u 2 ! pu 2 ) % 0
que puede simplificarse todavía más a
u[p(p ! 1.2) 2 ! (p ! 1.6)u 2 ] % 0
Para p Ç.1.6, se puede escribir esta última ecuación como
u Cu . (p ! 1.2) J .p
p ! 1.6DC u ! (p ! 1.2) J .p
p ! 1.6D % 0
de donde se obtienen las ecuaciones para el lugar de las raíces del modo siguiente:
u % 0
u % (p ! 1.2) J .p
p ! 1.6
u % . (p ! 1.2) J .p
p ! 1.6
La ecuación u % 0 representa el eje real. El lugar de las raíces para 0 m K mä está entre los
puntos s %.0.4 y s %.3.6. (El eje real que no es este segmento y el origen s % 0 corresponde al
lugar de las raíces para .ä m K a 0.)
Las ecuaciones
u % u (p ! 1.2) J .p
(6-29)
p ! 1.6
representan las ramas complejas para 0 m K mä. Estas dos ramas se encuentran entre p %.1.6
y p % 0. [Véase la Figura 6-66(b).] Las pendientes de las ramas de los lugares de las raíces complejas
en el punto de ruptura (p %.1.2) se encuentran calculando los valores de du/dp de la
Ecuación (6-29) en el punto p %.1.2.
du
% u
dpG J .p % u
p%.1.2 p ! 1.6G J1.2
p%.1.2 0.4 % u∂3
Como tan .1 ∂3 % 60 o , las ramas del lugar de las raíces cortan al eje real con ángulos de u60 o .
A-6-5.
Considere el sistema de la Figura 6-67(a). Dibuje los lugares de las raíces para el sistema. Observe
que para valores pequeños o grandes de K el sistema es subamortiguado y para valores medios de
K es sobreamortizado.
Solución. Existe un lugar de las raíces sobre el eje real entre el origen y .ä. Los ángulos de
las asíntotas de las ramas de este lugar se obtienen como
Ángulos de las asíntotas % u180o (2k ! 1)
% 60 o , .60 o , 180 o
3
La intersección de las asíntotas y el eje real se localiza sobre el eje real en
s % . 0 ! 2 ! 2 %..3333
3
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Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentran a partir de dK/ds% 0. Debido a que la ecuación
característica es
s 3 ! 4s 2 ! 5s ! K % 0