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Capítulo 10. Diseño de sistemas de control en el espacio de estados 731
Multiplicando las ecuaciones anteriores, en orden, por a 3 , a 2 , a 1 y a 0 (donde a 0 % 1), respectivamente,
y agregando los resultados, se obtiene
a 3 I ! a 2 A3 ! a 1 A3 2 ! A3
3
% a 3 I ! a 2 (A . BK) ! a 1 (A 2 . ABK . BKA3 ) ! A 3 . A 2 BK
.ABKA3 . BKA3
2
% a 3 I ! a 2 A ! a 1 A 2 ! A 3 . a 2 BK . a 1 ABK . a 1 BKA3 . A 2 BK
.ABKA3 . BKA3
2
Tomando en cuenta la Ecuación (10-15), se tiene que
Asimismo, se tiene que
a 3 I ! a 2 A3 ! a 1 A3 2 ! A3 2 ! A3 3 % h(A3 ) % 0
a 3 I ! a 2 A ! a 1 A 2 ! A 3 % h(A) Ç 0
Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la Ecuación (10-16), se obtiene
h(A3 ) % h(A) . a 2 BK . a 1 BKA3 . BKA3 2 . a 1 ABK . ABKA3 . A 2 BK
Como h(A3 ) % 0, se obtiene
h(A) % B(a 2 K ! a 1 KA3 ! KA3 2 ) ! AB(a 1 K ! KA3 ) ! A 2 BK
(10-16)
2
2 K ! a 1 KA3 ! KA3
% [B AB A B]Ca 2 a 1
D
K ! KA3
(10-17)
K
Como el sistema es de estado completamente controlable, la inversa de la matriz de controlabilidad
[B AB A 2 B]
existe. Premultiplicando ambos lados de la Ecuación (10-17) por la inversa de la matriz de controlabilidad,
se obtiene
2
2 K ! a 1 KA3 ! KA3
[B AB A 2 B] .1 h(A) %Ca a 1
D
K ! KA3
K
Premultiplicando ambos lados de esta última ecuación por [0 0 1], se deduce
2
2 K ! a 1 KA3 ! KA3
[0 0 1] [B AB A 2 B] .1 h(A) % [0 0 1]Ca a 1 K ! KA3 D%K
K
que puede reescribirse como
K % [0 0 1] [B AB A 2 B] .1 h(A)
Esta última ecuación da la matriz de ganancias de realimentación del estado K deseada.
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Para un entero positivo arbitrario n, se tiene que
K % [0 0 ñ 0 1][B AB ñ A n.1 B] .1 h(A) (10-18)