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662 Ingeniería de control moderna
a término para producir
d
dt eAt % A ! A 2 t ! A3 t 2
2! ! ñ ! Ak t k.1
(k . 1)! ! ñ
% A CI ! At ! A2 t 2
% CI ! At ! A2 t 2
2! ! ñ !Ak.1 t k.1
(k . 1)! ! ñ D % AeAt
2! ! ñ ! Ak.1 t k.1
(k . 1)! ! ñ D A % eAt A
La matriz exponencial tiene las siguientes propiedades:
Esto se demuestra del modo siguiente:
e A(t!s) % e At e As
e At e As % A ä A k t k
;
k%0 k! BA ä A k s k
;
k%0 k! B
%
ä
;
k%0
A k A ä ;
i%0
t i s k.i
i!(k . i)!B
En particular, si s % .t, entonces
%
ä
;
k%0
% e A(t!s)
(t ! s)k
k
A
k!
e At e .At % e .At e At % e A(t.t) % I
Por tanto, la inversa de e At es e .At . Como la inversa de e At siempre existe, e At es no singular. Es
muy importante recordar que
e (A!B)t % e At e Bt ,
e (A!B)t Ç e At e Bt ,
si AB % BA
si AB Ç BA
Para demostrar esto, considérese que
(A !
e (A!B)t B)2 (A !
% I ! (A ! B)t ! t 2 B)3
! t 3 ! ñ
2!
3!
e At e Bt % AI ! At ! A2 t 2
2! ! A3 t 3
3! ! ñ BA I ! Bt ! B2 t 2
2! ! B3 t 3
3! ! ñ B
% I ! (A ! B)t ! A2 t 2
2! ! ABt2 ! B2 t 2
2! ! A3 t 3
3!
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! A2 Bt 3
! AB2 t 3
! B3 t 3
2! 2! 3! ! ñ