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356 Ingeniería de control moderna
La intersección de las asíntotas y el eje real se encuentra a partir de
s %. 0 ! 1 ! 2 ! 2 %.1.25
4
Los puntos de ruptura y de ingreso se encuentra a partir de dK/ds % 0. Considerando que
se tiene
con lo que se obtiene
K %.s(s ! 1)(s 2 ! 4s ! 13) %.(s 4 ! 5s 3 ! 17s 2 ! 13s)
dK
ds %.(4s3 ! 15s 2 ! 34s ! 13) % 0
s %.0.467, s %.1.642 ! j2.067, s %.1.642 . j2.067
El punto s %.0.467 está sobre un lugar de las raíces. Por tanto, se trata un punto de ruptura real.
Los valores de la ganancia K correspondientes a los puntos s %.1.642 u j2.067 son cantidades
complejas. Como los valores de ganancia no son positivos reales, estos puntos no son de ruptura ni
de ingreso.
El ángulo de salida del polo complejo en la mitad superior del plano s es
o bien
h % 180 o . 123.69 o . 108,44 o . 90 o
h %.142.13 o
A continuación se buscan los puntos donde los lugares de las raíces cruzan el eje ju. Debido a
que la ecuación característica es
si se sustituye s % ju dentro de ella, se obtiene
o bien
de donde se obtiene
s 4 ! 5s 3 ! 17s 2 ! 13s ! K % 0
(ju) 4 ! 5(ju)5(ju) 3 ! 17(ju) 2 ! 13(ju) ! K % 0
(K ! u 4 . 17u 2 ) ! ju(13 . 5u 2 ) % 0
u %u1.6125, K % 37.44 o bien u % 0, K % 0
Las ramas del lugar de las raíces que se tienden al semiplano derecho del plano s cruzan el eje
imaginario en u %u1.6125. Asimismo, la rama del lugar de las raíces sobre el eje real toca el eje
imaginario en u % 0. La Figura 6-68(b) muestra un dibujo de los lugares de las raíces para el
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sistema. Observe que cada rama del lugar de las raíces que tiende al semiplano derecho del plano s
cruza su propia asíntota.