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430 Ingeniería de control moderna
Figura 7-28.
Diagramas polares de
1 ! 2f Aj u
1
2
u nB ! A j u
u nB
, para f b 0.
La Figura 7-28 contiene ejemplos de los diagramas polares de la función de transferencia que
se acaba de considerar. La forma exacta de un diagrama polar depende del valor del factor de
amortiguamiento relativo f, pero la forma general del diagrama es igual tanto para el caso subamortiguado
(1 b f b 0) como para el caso sobreamortiguado (f b 1).
Para el caso subamortiguado en u % u n , se tiene que G(ju n ) % 1/(j2f), y el ángulo de fase
en u % u n es de .90 o . Por tanto, se observa que la frecuencia en la que el lugar geométrico
G(ju) corta al eje imaginario es la frecuencia natural no amortiguada u n . En el diagrama polar,
el punto de frecuencia cuya distancia al origen es la máxima, corresponde a la frecuencia de
resonancia u r . El valor pico de G(ju) se obtiene como el cociente entre la magnitud del vector
en la frecuencia de resonancia u r y la magnitud del vector en u % 0. La frecuencia de resonancia
u r se muestra en el diagrama polar de la Figura 7-29.
Para el caso sobreamortiguado, cuando f aumenta mucho más allá de la unidad, el lugar geométrico
G(ju) tiende a un semicírculo. Esto se observa porque para un sistema muy amortiguado,
las raíces características son reales y una es mucho más pequeña que la otra. Debido a que
para un f suficientemente grande el efecto de la raíz mayor (mayor en su valor absoluto) sobre la
respuesta se vuelve muy pequeño, el sistema se comporta como uno de primer orden.
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Figura 7-29. Diagrama polar que muestra el pico de resonancia y la frecuencia de resonancia u r .