'1t 1^9 - JScholarship

Vierter Abschnitt.
Die Berechnung von Anzahlen durch Ausartungen.
§19.
Anzahlen für Gebilde, die aus endlich vielen
Hauptelementen bestehen.
Während wir in den vorhergehenden Abschnitten die fundamentalsten
Anzahl Beziehungen entwickelt haben, beschäftigen wir uns
in diesem Abschnitte mit der Auffindung von Anzahlen selbst. Für
die drei Hauptelemente sind die wichtigsten Anzahlen axiomatisch,
und in § 6 für die Aufstellung fundamentaler Formeln verwerthet.
Durch das Princip von der Erhaltung der Anzahl lassen sich gewisse
dieser Anzahlen auf die übrigen zurückführen. Man setze
z. B. für den Strahl die folgenden drei Angaben als Axiome voraus:
1. Wenn es einen Punkt giebt, der auf zwei gegebenen Strahlen
liegt, so giebt es auch eine Ebene, welche diese Strahlen enthält,
und umgekehrt.
2. Es giebt einen Strahl, welcher zwd gegebene Punkte enthält.
3. Es giebt einen Strahl, welcher in zwd gegebenen Ebenen liegt.
Dann kann man mit Benutzung des Princips von der Erhaltung
der Anzahl den folgenden Schluss ziehen:
„Es giebt zwei Strahlen, welche viergegebene Strahlen schneiden."
Auf die Grundbedingungen der Hauptelemente lassen sich aber
vermöge des Princips von der Erhaltung der Anzahl oder vermöge
der aus diesem Principe resultirenden Incidenzformeln (IL Abschnitt)
die Grundbedingungen aller derjenigen Gebilde zurückführen, welche
aus einer endlichen Anzahl von Hauptelementen zusammengesetzt
sind. Deshalb lassen sich auch für solche Gebilde die wichtigsten
Anzahlen leicht bestimmen. So wurde schon in § 9 folgende
Anzahl berechnet: