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Die Coincidenzformeln. 73
»K9) = ^ft(2fi —v), ncp = v{2g — v), r(p = Q{2g — v);
mx = g{2Q-v), nx = v{2Q-v), rx = ^Q{2Q-v);
mip = g(2v — g — Q), nip-^\v{2v —g —q)^ rip = Q{2v —g —q).
Gerade so findet man z. B.
m^cp = |fi°(2ft — v), mnrcp = ^(ivq {2g — v),
mr^X = if*9^ (2? — v), mr°nx = if^vp^ (2? — v),
mni^ = -^-ftv (2v — fi — p), n*ri^ = tV'^^P (2v — f* — ?)•
Diese Formeln stellen also die auf cp, x, i' bezüglichen Bedingungen
durch g, V, q dar.
Es handelt sich deshalb nur noch darum, die oben vor der
Beschreibung der Ausartungen genannten 19 Coincidenzbedingungen
durch die auf cp, x, ^ bezüglichen Bedingungen auszudrücken. Um
dieses leisten zu können, schicken vrir die folgenden sieben Kegelschnittbeziehungen
voraus, welche theils aus den Incidenzformeln,
theils direet aus dem Princip von der Erhaltung der Anzahl folgen.
Dabei benutzen wir die Symbole m, n, r.
1. Die Bedingung, dass ein Kegelschnitt eine Ebene so schneidet,
dass eine der beiden in den Schnittpunkten berührenden Tangenten
eine Gerade schneidet, ist nach der Incidenzformel I des § 7
(c£ § 8) gleich:
n-\-r.
2. Die Bedingung, dass ein Kegelschnitt durch einen gegebenen
Punkt geht, ist nach der Incidenzformel VII des § 10 (cf. § 12,
Nr. 9) gleich:
mn — 2.m^.
3. Die Bedingung, dass ein Kegelschnitt einen in einem gegebenen
Strahlbüschel liegenden Strahl berührt, ist nach der Incidenzformel
V gleich:
mr.
4. Die Bedingung, dass ein Kegelschnitt eine gegebene Gerade
berührt, ist nach der Incidenzformel VI (cf. § 12, Nr. 8) gleich:
m^r — 2. m^,.
5. Man betrachte die zusammengesetzte Bedingung nr und
wende das Princip von der Erhaltung der Anzahl an, indem man
den Strahl der Bedingung n in die Ebene der Bedingung r legt.
Dann, kann nr auf keine andere Weise erfüllt werden, als indem
der Kegelschnitt die Ebene in einem Punkte der Geraden berührt.
Ein solcher Kegelschnitt erfüllt aber dabei die Bedingung nr zweimal,
weil er mit der Geraden von n zwei Punkte statt eines gemeia
hat. Also ist die Bedingung, dass ein Kegelschnitt eine