'1t 1^9 - JScholarship

Dritter Abschnitt. Die Coincidenzforrnehi. 43
einander entsprechen, und zwar so, dass, wenn man einen beliebigen
Punkt der Geraden als Punkt A auffasst, ihm ß Punkte
B zugehören, und dass umgekehrt einem als Punkt B aufgefassten
Punkte ß Punkte A zuzuordnen sind. Nimmt man dann auf der
Geraden einen festen Punkt 0 an und bezeichnet jede Strecke OA
mit a, jede zugehörige Strecke OB mit &, so besteht zwischen a
und b eine algebraische Gleichimg, welche die Eigenschaft hat,
dass die Einsetzung eines bestimmten Werthes für a ß zugehörige
Werthe von b, und die Einsetzung eines bestimmten Werthes für
b a zugehörige Werthe von a hervorruft. Identificirt man also a
und b, so erhält man im Allgemeinen ß-f/3 Werthe a==b, weil
man bei möglichst allgemeiner Auffassung annehmen muss, dass
das Glied a"&(^ in jener Gleichung vorhanden ist. Sollte in speciellen
Fällen der Coefficient von a^V null sein, so gehören zu
den a + /3 Wetthen a = b auch unendlich grosse Werthe.* Es giebt
also auf der Geraden a-\- ß Punkte, in welchen zwei zusammengehörige
Punkte A und B vereinigt liegen.
Durch duale Uebertragung gewinnt man hieraus das Correspondenzprineip
im Strahlbüschel und im Ebenenbüschel.
Jetzt köimen wir ohne wdtere algebraische Betrachtungen, nur
mit Hilfe unseres in den beiden ersten Abschnitten entwickelten
Kalküls, zu allen möglichen Coincidenzformeln gelangen. Zuerst
haben wir die Formel abzuleiten, welche beim Punktepaa/re die einfache
Coincidenzbedingung durch Grundbedingungen ausdrückt. Wir
bezeichnen ndt p und q die beiden Punkte des Punktepaares, mit
g ihren Verbindungsstrahl und mit e die einfache Bedingung, dass
die bdden Punkte p und q unendlich nahe liegen, jedoch dnen ganz
bestimmten Verbindungsstrahl haben. Ist nun ein beliebiges einstufiges
System von solchen Punktepaaren gegeben, so nehmen wir
einen beliebigen Ebenenbüschel an, dessen Träger der Strahl l sei,
und legen durch l alle möglichen Paare von Ebenen, so dass immer
die eine Ebene durch einen Punkt p, die andere durch den zugehörigen
Punkt q geht. Dann giebt es in dem Ebenenbüschel
nach dem Correspondenzprineip
p + q
* Studien über die Unterscheidung der endlichen Werthe a = & von den
unendlich grossen Werthen a = & enthalten einige Abhandlungen von Sattel
in den Berichten der Brügseler Akademie. Bei derii allgemeinen Charakter
unserer Untersuchungen brauchen wir auf diese Unterscheidung keine Rücksicht
zu nehmen.