'1t 1^9 - JScholarship

n Dritter Abschnitt.
und hieraus durch symbolische Multiplication die Formeln fünfter
und siebenter Dimension:
35) .,jg = Gh -I- gs hp 4- ^. /»«+ gph, 4- 9^ '** + 9^^
36) nyp^ (^h + 9s h, + gpH,
37) rige = (Fh, + g, h, +.(/«H,
38) vigs-'Gh„-\-gJI.
Aus diesen Formeln kann man unmittelbar die Bezout'schen
Sätze der Liniengeometrie ablesen, d. h. die Formeln für die gemdnsamen
Elemente zweier Systeme von Strahlen. Fasst man z. B. jeden
Strahl einer gegebenen Linienfläche n*"" Grades mit jedem Strahl
eines gegebenen Complexes w* Grades als Strahlenpaar zusammen
und wendet auf das entstandene vierstufige System von Strahlenpaaren
die Formel 34 an, so werden alle Glieder rechts null, mit
Ausnahme von gh, wofür man n.m zu setzen hat. Eine Linienfläche
n'"" Grades schneidet also dnen Complex m"-" Grades in n.m
Strahlen. Gerade so liefern die Glieder
g,Jh' + 9ehe
der Formel 34 den von Halphen zuerst bewiesenen Satz (Lit. 21),
dass die Zahl der zweien üongruetizen getndnsamen StraJden gleich
b .b' -\-a.a!
ist, wo für die eine und für die andere Congruenz die beiden Zahlen
b und V angeben, wieviel Strahlen durch dnen gegebenen Punkt gelten,
a und a' angeben, uneviel Strahlen in dner gegeben-en Ebene liegen.
Ebenso liefern die Glieder
gph,-\-gehe
der Formel 35 den Grad ehr LinienfläcJie, weldie einer Coniiriiens
und dnem Complexe genicinsam ist. Aus Formel 36 und 37 erhält
man endlich, dass von den gemeinsamen Strahlen ::iceicr Compicji
n' und m"" Grades n. m durch jeden, gegebenen PunJd gehen uttd auch
n. in- in jeder gegebenen Ebene liegen..
Da man häufig mit Systemen von Strahlenpaareu zu thun hat,
welche sämmtlich die Bedingung 0 erfüllen, so fügen wir noch die
Formeln hinzu, welche die eC) enthaltenden Symbole durch die ö
(uitbaltenden Symbole ausdrücken. Aus 21 folgt nach und nach:
oder: ^'^P ' '^P9 + "'/''' " ^P^" ''i"^
39) f ap == ng,. 4- 0he + 0p^ — 0pc,
40) E0e •-= 0gi, -h ali-p -f- tf e* — ape,
41) EOp"-,^ ,lpg„-\- cphe — 0pe,
42) 6i> e!^= 0eg,, -{-0ehp-- 0pe,