'1t 1^9 - JScholarship

Die Coincidenzformeln. ß9
sind nämlich die doppelt gezählten Punkte der Ebene n Jedem
Punkte gehört im, allgemeinen nur die Ebene r als Tangentialebene
an. Legt man jedoch durch ä die oo^ Tangentialebenen an
die F^, so schneiden diese die Ebene r in oo^ Strahlen, welche
einen Kegelschnitt umhüllen und gemäss dem Werthe A = 0 die
besondere Eigenschaft haben, dass jede durch sie gelegte Ebene
als Tangentialebene ihres Kegelschnittpunktes zu betrachten ist.
Diese Kegelschnitttangenten ergeben sich zugleich als die Bilder
der oo^ auf der F^ liegenden Geraden. Daher zerfallen die c»^
Strahlenpaare, welche jeder F^ m dem von uns festgestellten Sinne
angehören, bei der Ausartung 99 in zwei Gruppen von je 00^:
1. solche, deren Schnittebens e die Ebene von (p, deren Schnittpunkt
p dn beliebiger Punkt auf ihr ist und deren Strahlen g und h
die bdden von diesem Punkte an den Kegelschnitt gelegten Tangenten sind;
2. solche, deren Schnittebene, e dne beliebige, den Kegelschnitt berührende
Ebene, deren Schnittpunkt p ihr Berührungspunkt ist, deren
beide Strahlen g und h aber in der diesem Berührungspunkte zugehörigen
Kegelschnitttangente vereinigt liegen.
Jedes der eben unter 2 genannten oo^ Strahlenpaare bildet also
dne Coineidenz, deren Strahl g Tangente des Kegelschnitts und deren
Schnittpunkt p ihr Berührungspunkt ist, deren Schnittebene e aber
irgend-dne der go^ dtirch g gehenden Ebenen sein kann.
Transformirt man die eben beschriebene Erzeugung der Ausartung
(p nach dem Princip der Dualität, so erhält man die Beschreibung
der 93 dual entsprechenden Ausartung %, bei welcher die
Punkte einen Kegel zweiten Grades bilden.
Die dritte Ausartung ijj, welche sich s^elbst dual entspricht,
kann man eben so erzeugen, wie 93, nur dass man das Centrum S
der Homographie auf die F^ selbst zu legen hat. Dann wird jeder
Punkt auf der Ebene r der Homographie einmal Bild eines Punktes
der F^. Als Bild von S muss man aber jeden Punkt auf der Tangentialebene
in S ansehen; also bilden die Punkte von tp zwei
verschiedene Ebenen, die wir Hauptebenen nennen wollen. Ihren
Schnitt wollen wir Hauptgerade der Ausartung tj) nennen. Die
beiden auf der F^ liegenden- and sich in S schneidenden Strahlen
schneiden die Hauptgerade in zwei ausgezeichneten Punkten, die
wir Hauptpunkte nennen wollen und die die besondere Eigenschaft
haben, dass, jede durch sie gelegte Ebene als Tangentialebene angesehen
werden muss. Ueberhaupt ergiebt die homographische Abbildung
folgende Beschreibung der Ausartung ip: